1.  Consider the function f given by f (x, y) = x2 + y2 - 2y + 1.

(a)     (i) Find the gradient of the function f at the point (0, 0).

(ii) Find a unit vector u such that D" f (0, 0) =  .

(iii) Find a unit vector u such that D" f (0, 0) = 0.

(iv) The level curve f (x, y) = 1 passes through the origin (0, 0). Find the equation of

the tangent line to the level curve at the origin.

(b)  Consider the constrained optimisation problem:

Optimise f (x, y, z) = x2 + y2 + z2

subject to the constraint: x + 2y + 3z = 14.

Use the method of Lagrange multipliers to find the critical point of this constrained optimisation problem (without classifying the type of critical point).

2.  (a)  Only one of the following sequences converges. Find this sequence and its limit.

(i) bn  = (-1)n  ╱  + 1、       (ii) cn  = 

bp opu |uu↓也gu up t|夕 |o夕uì/oJ |#pau uì↓ ψ/u↓sJ↓ou t↓ra↓o|↓| 

(b) When we apply the s|u/p u↓tu to the following three series, it will only tell us that one

of the series converges. Which series converges by the ratio test, and what is its sum?

(i)  ╱ 1 - 、               (ii)                  (iii)  

bp opu |uu↓也gu up t|夕 |o夕uì/oJ |#pau uì↓ puì↓s uwp t↓s/↓t|

(c)  Consider the function f (x) which has a MacLaurin series,

f (x) = L(&) 

(i) Find the interval of convergence of   .

(ii) Find the MacLaurin series of f′ (x) by differentiating the MacLaurin series of f (x)

given above.

(iii)  Calculate the value of f (1).

(i) Find a basis for the nullspace of A.

(ii) Find a vector that is orthogonal to every vector in the nullspace of A. (iii) What is the rank of A?

(iv) Does the equation Ax = b have a solution for all b ● 斌3 ?

Give a reason for your answer.

┌ 1┐

(v)  Let v .  Suppose b ● 斌3  and that Av = b.

' 1 '

' '

Determine all solutions x to the equation Ax = b.

(b)  Compute the least squares solution and error to the following equation:

┌''   01-1┐'' ┌   ┐x(x)2(1)   =   ┌''┐''

4.  (a) The population of a country is divided into urban and rural residents. Suppose that each year, 5% of the urban population moves to rural areas and 15% of the rural population moves to urban areas.  In 2020 there were 2,500,000 residents living in rural areas and 3,500,000 residents living in urban areas.

Let xn  =  ┌   ┐u(r)n(n)  be the state vector denoting the number of rural and urban residents

(rn  and un  respectively), where n is measured in years after 2020.  Assume that the population of the country remains constant. The state vector changes according to the formula xn+1  = Sxn .

(i) Find the stochastic matrix S.  

(ii) What will be the eventual populations of rural and urban residents in the long

term?  

(b)  Consider the following three matrices:

A1  =  ┌3(2)

2(3)┐ ,    A2  =  ┌ 2-1

2(0)┐ ,    A3  =  ┐ .

(i) Find the characteristic equation of each matrix Aj , j = 1, 2, 3. Hence compute the eigenvalues of each matrix.                

(ii) Determine which matrix Aj   is NOT diagonalisable.   Explain why it cannot be

diagonalised.                   

(iii) Which matrix Aj  has an orthogonal diagonalisation VT Aj V = D? Find V and D

in this case.     

5.  (a) Determine whether each first order differential equation below is

· linear or nonlinear

· separable or nonseparable

dy       x - y

dx         x

(ii)       + xy = 0

(iii)  (ex + 1)  = 

(b) Find the general solution y(x) of

y′  = xny2 ,

where n is a positive integer. Give your answer in explicit form: y = f (x).        (7 marks)

(c)  Solve the initial-value problem

y′ - 3y = 6ex ,    y(0) = 1

for y(x). Give your answer in explicit form.

6.  (a)  Given the initial-value problem

y′  = t2 - ty,    y(0) = -1

use Euler’s method with stepsize h = 0.5 to estimate the value of y(1).

(b)  Solve the linear system

x′  = 2x + 3y

y′  = 2x + y

for x(t) and y(t) with initial conditions given by x(0) = 1 and y(0) = 1.