1.  Consider the function f given by f (x, y) = (x - 1)2 + (y - 1)2 .  (a)     (i) Find the gradient of the function f at the point (0, 0).

(ii) Find a unit vector u such that D" f (0, 0) = 0.

(iii) Find the maximum directional derivative of f (x, y) at (0, 0).

(iv)  Can you find a unit vector u such that

D" f (0, 0) = -3?

Give your reason.

(b)  Consider the constrained optimisation problem:

Optimise f (x, y, z) = x2 + y2 + z2

subject to the constraints: x2 + y2  = 1 and x + z = 0.

Use the method of Lagrange multipliers to find the critical points of this constrained optimisation problem (without classifying their type).

2.  (a) There is only one of the following given sequences that converges.  Find this sequence and its limit.

(i) an  =        (ii) bn  = ╱ 、n           (iii) cn  = ╱ 1 - 、2n+1

ò| í|l |ll|ì」l l| s|y |íyl左;í」 |#|ul l左| |;u|r」|íl s|╱u|í||s 

(b) There is only one of the following given series that converges. Find this series and give

the reason for the convergence.

(i)  ╱  + 、               (ii)                  (iii)   ò| í|l |ll|ì」l l| s|y |íyl左;í」 |#|ul l左| |;u|r」|íl s|r;|s

(c)  Consider the function f (x) which has a MacLaulin series f (x) =   .

(i) Find the interval of the convergence of   . (ii) Find f (0), f′ (0) and f′′ (0) .

(iii) Find f′ (  ).

┌ 1   4      2      0 ┐

3.   (a)  Consider the matrix A =  ' 0   1      5   -1  '

You may use the fact that A reduces to

(i) Find a basis for the column space, Col(A), of A.

(ii) Find a basis for the null space, Null(A), of A.

┌ 1┐

' 1 '

(iii)  Compute b = Av, where v =  '   '.  Then give the general solution to Ax = b.

'0 '

' '

┌0┐

(iv)  Show that the vector  '0 ' does not belong to Col(A).

'1'

(b)  Consider the inconsistent system

┌''   ┐'' ┌ ┐y(x) =  ┌''-291┐'' .

(i) Find the least squares solution to this system.

(ii) Find the least squares error to your solution.

┌ 1   2   0┐

4.   (a)  Let A =  '0   2   0 '

(i) Find the eigenvalues and eigenvectors of A.          (ii)  Can A be diagonalized? Explain why or why not.

(b) The Auckland Blues rugby team has some dedicated fans.  Suppose that only 80% of

fans who attend a Blues game will attend the next one, while 30% of fans who do not attend a Blues game will attend the next one.

Suppose that 90% of Blues fans turned up to the first game of the season, represented

by the state vector x0  =  ┌   ┐

(i) Write down the stochastic matrix S for this system.

(ii) Find x1  = Sx0 .

(iii) Find the long-term state vector x/  =  lim xn .

(iv) In the long run, what percentage of Blues fans would you expect to attend a Blues

rugby game?

(c) Is the symmetric matrix  ┐ positive definite, negative definite, or indefinite? Give a reason for your answer.                                                                           (3 marks)

5.  (a) For each of the following differential equations:

d3y       d2y dy

dx3        dx2 dx

d2 x       dx

dt2           dt

dx

dy

(i) state its order;

(ii) state whether or not it is linear.

(b)  Solve the initial value problem

y′  = 2y,    y(0) = 4

for y(t).

(c) Find the general solution y(t) of

y  + 2y′ = 2e_4芒 .