Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit


MATHS 208

SUMMER SESSION, 2019

General Mathematics 2

 

1.  (a)  Consider the function f given by f (x, y) = 3x4 - 6x2 - 12xy + 2y . Find the directional2  derivative of f at the point (1, -1) in the direction of the vector (1, 1).


(b) Find the relative maxima, minima and saddle points of the function f (x, y) = x3 - 3xy + y3

.

(c) Evaluate the integral

)


(d) Evaluate the integral

 dx



2.  (a) Define the sequence ●a { by

a也  = /

Does the limit of this sequence exist? Justify your answer.

 

(b) Which of the following two series converges and why?

(i)  /  ,

 

 

(c) Find the Taylor series of the function f defined by

f (x) = sin(2x)

about x = π/4. Use summation notation to express your answer.

 

3.  (a) Let

┌ 1   2   2   2┐                 ┌4┐

'1   2   5   2' ,                 '7'

You may use the fact that the matrix [A}b] row reduces to

┌ 1   2   0   2  2 ┐

(  0    0    1    0    1   

' 0   0   0   0  0 '

(i)  Give a basis for col(A).

(ii)  Give a basis for null(A).

(iii) Find the general solution to Ax = b.

┌4┐

(iv)  Show that the vector c =  (5  does not belong to the column space col(A).

'8'


(b)  Consider the inconsistent system

┌('   ' ┌   ┐x(x)2(1) =  ┌('' .

(i) Find the least squares solution to this system.

(ii) Find a vector b such that it is orthogonal to each column vector of

┌ 1   0┐

(0    1

'      ' .

 

4.  (a) The Kakapo is an endangered native New Zealand bird.  It is now found only in a few carefully protected reserves. This question is about one of these reserves. Let x  be the number of chicks (baby Kakapo) in the reserve after n years and let y  be the number of adult breeding birds after n years.  Initially there are 30 adult birds and 20 chicks. With a yearly state vector vn  = ╱   \y(x)也(也) , the model has the form   vn  = Av0 ,

╱           \                ╱   \

(i) Find v2 , the state vector after 2 years.

(ii) Find all eigenvalues of matrix A. Then use these eigenvalues, or otherwise, to find

how many Kakapo (chicks and adult birds) survive in the long run.

(iii) The number k in the matrix   A = \  represents the probability a Kakapo

chick will survive its first year and become an adult. In the scenario above, k = 0.1. Conservationists can increase the value of k by providing protection for the chicks. What must the value of k be increased to if the Kakapo numbers are to be kept from declining?


(b) Let B be the matrix

┌      ┐

(i) Find the eigenvectors and eigenvalues of B .

(ii) Write the matrix B in the form VDV.1 , where D is a diagonal matrix and V is a

matrix to be found.

 

5.  (a)  Solve the initial value problem       = ty - 2t, y(0) = 1.


 

(b) Find the general solution to the differential equation       = -   - sin(t).


(c)  Given the initial value problem y  = y2  + t, y(0) = 1, use Euler’s method to estimate y(1). Use the step size h = 0.5.

 

Copy the following table and fill in the missing entries, then indicate which entry gives your estimate of y(1).

 

n

f (t , y )

y + hf (t , y )

0

0

1

 

 

1

0.5

 

 

 

2

1

 

 

 

 

6.  (a) Find a fundamental set of solutions of

y上上 - y = 0.

 


Verify that the solutions are linearly independent.

(b)  Solve the initial-value problem

y上上 - 2y + y = 0,    y(0) = a, y (0) = 1.

where a is a given real number.

(c)  Solve the linear system

x     =   x + 2y

y     =   2x + y

for x(t) and y(t), with initial conditions given by x(0) = 1 and y(0) = 2.