Section A

Videos ofSection A will be available on Blackboard to check your understanding.

Q1     A joint probability distribution function between two, discrete, random variables,  and  is illustrated

below.  is a random variable that can take the values 5 and 10;  is a random variable that can take the values 1 and 2.

(a)      Random variables are independent if, for all possible outcomes of  and 

( = ) = ( = | = )

Are X and Y independent random variables?

(b)     Suppose that you observed that  = 2; what is the probability that  = 5?

Q2     Consider the random variables,  and  .  These random variables follow a joint probability distribution,

as represented below:

(a)     Construct the conditional probability distribution for Y, conditioning that  = 1 and  = 3.

i.e. Find ( = | = 1) and ( = | = 3) for all values of 

(b)     Hence, calculate:

i.            (| = 1)

ii.           (| = 3)

(c)      Using your answer to part (b), calculate ().

Q3     Consider a (simplified) game of poker.  You opponent can either gain a good hand (a flush), with

probability 0.2 or a bad hand (nothing), with probability 0.8.  When your opponent observes their         hand they can choose whether to place a large bet.  You then have the option to either match the bet, or to fold (not make a bet).

You know that when your opponent has a good hand, there is a probability of 0.95 that they will place a large bet, whereas if they have a bad hand, there is a probability of 0.2 that they will place a large      bet.

The random variables in this problem can be defined as:

i.            Quality of hand ()

ii.           Size of bet ()

(For simplicity of notation, we can denote these as  and  .

Write down any probabilities that we can infer from the question

Hence, calculate the joint distribution of  and  .

What is the probability of your opponent having a bad hand, conditional on observing that she has placed a large bet?

How does your answer to (c) influence your decision about whether to match the bet, or to fold?

Section B

Written solutions to the problems in section B will be made available on Blackboard

Q1     Suppose that we have a random variable, , with the following distribution:

 = {

1

( = 1) =    

3

( = 3) =    

(a)     Calculate the expected value and variance of X, () and ().

A second variable  is constructed as the square of  + 1.

That is,  = ( + 1)2

Write down the possible outcomes of  .  Hence write down the probability distribution of  . Using your answer to part (b), calculate ().

Why does () ≠ (() + 1)2

Q2     Suppose that you have a bag containing 20 balls.  12 are red, 8 are green.  You randomly select 4 balls

from the bag, without replacement.

(a)     What is the probability that you pick Red, Green, Red, Green (in that order)?

(b)     What is the probability that you pick two green and 2 red balls (in any order)?

(c)      How would your answer differ to (a) and (b) if you replaced the ball in the bag after each draw?

Section C

This question should be handed in by 11:00am on Wednesday 16th   February.  You should hand in a single document with your solution to Blackboard.

The best 3 out of 5 submissions of Section C questions will contribute towards 40% of the final unit mark.

Q1    A famous problem exists in probability, known as the Monty Hall problem.  The Monty Hall problem is

based upon a US game show called “Let’s Make a Deal” .  This question is based on a variation of the Monty Hall problem.

Suppose that you are on a television game show.  In the final round, you are given the choice between four boxes.

•     Inside one of the boxes is a prize of £10,000 .

•     Inside one of the boxes is a prize of £5,000

•     The other two boxes are empty, and would lead to a prize of £0.

The gameshow host knows the contents of each of the boxes, but she gives you no indication of which box contains the £10,000.  Every time the game is played, the host follows exactly the same                    procedure.

You randomly select one of the boxes.  After you have made your choice, the host opens one of the empty boxes.

You are then offered the option to either stick with your original choice, or to switch to a different box.  You have read that the optimal strategy in the Monty Hall problem is always to switch to an  alternative box, so you randomly choose between the two other boxes.

•     For example, suppose that the boxes have labels 1,2,3,4.  Initially you chose box 1, and the  game show host shows you that box 2 is empty.  You then randomly choose between box 3 and box 4.

(a)     Draw out a game-tree, illustrating this game.  Carefully define the two random variables you are

considering here.

(b)    Write down the marginal probabilities of initially choosing the following prizes:

i.      £0

ii.     £5,000

iii.    £10,000

(c)     Construct the conditional probability distribution of the prize that you win at the end of the game.

i.e. Calculate the probability of winning £0, £5,000 or £10,000 conditional on your initial choice having been a box containing £0, £5,000, or £10,000 .

(d)     Hence, calculate the expected winnings of the game, conditional on initially have chosen the following prizes

i.      £0

ii.     £5,000

iii.    £10,000

(e)     Hence, use the law of iterated expectations to calculate the expected winnings from the game.

(f)     Suppose that you follow this strategy, and win £5,000.  What is the probability that you initially

chose the £10,000 box?