Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

MATH 2310

Homework 3

Spring 2022

1.  [3 pts] Determine the arc length along the curve

r(t) = ⟨cos(t) + tsin(t), sin(t) − tcos(t),t2⟩

from t = 0 to t = π/2.

2.  [3 pts] Interestingly, the notion of arc length can be defined in any dimension.  A curve in four- dimensional space R4  is parametrized as

r(t) = ⟨x(t),y(t),z(t),w(t)⟩,    a ≤ t ≤ b.

Find the arc length of r(t) = ⟨t,ln(t), 1/t,ln(t)⟩ and 1 ≤ t ≤ 4.

3. Suppose that the trajectory of a particle in R3 is described by the vector-valued function r(t), and let v(t) = r′ (t) and a(t) = r′′ (t) be its velocity and acceleration vectors, respectively. For each of the following statements, either give a proof or exhibit a counter-example.

(a)  [2 pts] Let C  be the space-curve in R3  which is parametrized by r(t), −∞  < t < ∞. If the

velocity vector v(t) is constant, then the curve C lies entirely in a single plane.

(b)  [2 pts] Define the speed of the particle at time t to be the length of its velocity vector s(t) =

|v(t)| at time t. If the speed is a constant function, then the curve lies entirely in a plane.

(c)  [2 pts] If the acceleration vector a(t) is constant, then the curve C  lies entirely in a single plane.

(d)  [2 pts] If the velocity vector v(t) is orthogonal to the acceleration vector a(t) for all time t, then the curve C lies entirely in a single plane.

(e)  [2 pts] Prove that r(t) × a(t) = 0 implies r(t) × v(t) = c, where c is a constant vector.

(f)  [2 pts] If r(t) × v(t) = c for all time t, prove that the motion takes place in a plane (i.e. that

the space curve parametrized by r(t) lies entirely in a plane). Consider both c = 0 and c 0.

lies entirely in a single plane. Find an equation for the plane.