Question 1 (7 marks) – Elementary topology of the complex plane.

Consider the set

A = z ∈ C :  |z − 2| < |z + 3i|  .

(a) Sketch the set A in the complex plane. Mark special points and indicate clearly whether

boundary points belong to the set or not.

(b) Briefly describe the set of boundary points, in not more than one or two sentences. The

description should be concise but no justification is required.

(c) Is the point z0 = 1 −  ∈ C a cluster point of A? Briefly justify your claim.

(d) Is the set A closed? No justification is required.      (e) Is the set A a domain? No justification is required.

Question 2 (5 marks) – Short proof.

Let Ω be a domain and f  : Ω → C and g  : Ω → C two holomorphic functions such that Re(f) = Re(g) on Ω.

(a) Use the Cauchy-Riemann relations to show that the difference f − g is constant on Ω. (b) Explain why the statement may be incorrect if Ω fails to be a domain.

Question 3 (16 marks) – Short computations.

(a) Use a parametrization to compute the contour integral

✂C Im(z)dz

where the contour is the triangle connecting the points z1  = 0, z2  = 1 and z3  = i in an anticlockwise fashion. Comment on your result in the light of Cauchy’s Theorem.

(b) Use any valid method to compute the contour integral

cos(πz) dz

C

where the contour C is a segment of the parabola Re(z) = Im(z)2 with start point z1 = 0 and end point z2 = 1+i. You are expected to simplify the result and write it in Cartesian form.

(c) Consider the power series expansion

∞

sin sin(z)  = X anzn  .

n=0

(i) What is the radius of convergence of this power series? Justify your answer.

(ii) Use a symmetry argument to show that the coefficients with even index all vanish, i.e. a2k = 0 where k = 0, 1,...

(iii) Compute the leading non-zero coefficients a1 and a3. It is sufficient to give the answer

in series form up to terms of order O(z4).

Question 4 (9 marks) – Short computation

Consider the function f : C \ {−1} → C specified by

f(z) = (z2 − 1)exp   .

(a) Expand f(z) in a Laurent series centred at z0 = − 1. Make sure to simplify your expression.

(b) What is the maximal domain in which this expansion converges?

(c) Determine the residue of f(z) at z0 .

(d) Specify the type of singularity at z0 .

In parts (b), (c) and (d) you are expected to provide a brief justification for your answer.

Question 5 (6 marks) – Concepts: Isolated singularities and their residues

(a) Determine and specify the type of all singularities of the following two functions.

(i) f(z) =                   

sinh(z)

(ii) g(z) =

You are not expected to provide a Laurent series.

(b) Compute the residue    .

Question 6 (5 marks) – Short computations with M¨obius transformations.

Let a ∈ C with |a|  1 and consider the M¨obius transformation

z − a

w = fa(z) =

where  denotes the complex conjugate of a.

(a) Show that f−a  is the inverse of fa, that is f−a◦ fa(z) = z .

(b) Compute |w|2  to show |w| = 1 whenever |z| = 1.  (This just means that the unit circle is

mapped to the unit circle.)

(c) Evaluate fa(0) and state a condition on a that ensures that the interior of the unit disc is mapped to the interior of the unit disc.

Question 7 (7 marks) – A standard computation.

Use residue calculus to compute the integral

I = ✂02π   .

In your answer you are expected to clearly address the following points.

❼ What auxiliary contour integral J = ✁C f(z) dz is used.

❼ The location and type of all relevant singularities of f(z).

❼ The evaluation of J using residue calculus.

❼ The relation between the integrals I and J.

❼ The value of I.

Question 8 (9 marks) – Analytic continuation

Consider a function f(z) that is holomorphic for Re(z) > 0 and satisfies the two relations (A)   f(1) = 1    and     (B)   f(z + 1) = zf(z) .

(a) Show that f(n + 1) = n! for n = 0, 1, 2,...

(b) Show that f(z) is meromorphic except for simple poles at z = −n where n = 0, 1, 2, 3,...

(c) Determine the residues at these poles.

(d) Is the information provided sufficient to conclude that  f  is the gamma function,  i.e. f(z) = Γ(z)?

Question 9 (10 marks) – Question with two optional parts.

This question has two parts, A and B, one with an emphasis on computation, the other with an emphasis on proofs. You are expected to address precisely one of these two parts according to your own preferences. If you answer both parts only one of your answers will be marked at the discretion of the examiners.

Optional part A: Emphasis on computation.

Compute the integral

                      R

by means of a complex contour integral along an indented contour C of the type depicted. In your answer you are expected to clearly address the following points:

❼ what auxiliary complex contour integral J =      f(z) dz is used;

C

❼ the location and type of all relevant singularities of f(z);

❼ the evaluation of J using residue calculus;

❼ the relation between the integrals I and J, including a discussion of necessary limits and

estimates (using the ML bound);

❼ the value of the integral I.

Hints: When taking the limit ϵ → 0 to remove the indentation you may assume that limit and integral can be exchanged.

Optional part B: Emphasis on proofs.

(a) Let f(z) be holomorphic with a pole of order m ≥ 1 at z0. Show that f′ (z) has a pole of

order m + 1 at z0 .

(b) Use Cauchy’s Integral Formula to prove Liouville’s Theorem, i.e. that every bounded entire

function is necessarily constant.