Question 1 (7 marks) – Elementary topology of the complex plane.

(a)  Sketch the following two sets A and B in the complex plane, marking special points and

indicating whether boundary points are part of the set or not.

A = ,z ≥ C : Im(z) log |ez | 丛 1、

B = ,z ≥ C : | Re(z) ┐ 1| + | Im(z)| < 1、.

It is expected that you provide some basic working to explain your sketch.

(b)  Only one of the two sets A and B is bounded. Which?

(c)  Only one of the two sets A and B is closed. Which?

(d)  Only one of the two sets A and B is connected. Which?

No justifications are required for part (b), (c) and (d).

Question 2 (4 marks) – Short proofs.

(a) Let f : C 玄 C be the function defined by f(z) =  (complex conjugation).  Use an 6-δ

argument to show that f(z) is continuous at each z ≥ C.

(b) Are the functions Re(z) and Im(z) (real and imaginary part) continuous as well? Justify

your answer. You are allowed to use limit laws.

Question 3 (7 marks) – Concepts:  Complex differentiability and holomorphicity.

Let z = x + iy with x, y ≥ R and consider the function

f(z) = F (x, y) = z2 Re(z) .

(a) At which points z ≥ C is f(z) complex differentiable?

(b) At which points is it holomorphic?

You are expected to justify your claims and name relevant theorems or conditions you are using.

Question 4 (10 marks) – Short computations.

Compute the following three anti-clockwise contour integrals.

(a)  ✘lz -1l=1 

(b)  ✘C      where C is the boundary of the set |z : 0 < Re(z) < 1, 0 < Im(z) < 1}

✘

Hint: Try to find a way to eliminate the complex conjugate!

If you are employing theorems in your computation you are expected to name them. Also, make sure to verify that the relevant assumptions are satisfied.

Question 5 (6 marks) – Concepts:  Isolated singularities and their residues.

Specify a complex function f (z) of a complex variable z that satisfies all of the following properties at the same time.

(a)  f is holomorphic on C except for three isolated singularities at 0, 1 and i.

(b)  1 is a simple pole with Res ,f (z)、= 2.

(c) i is a double pole with Res|f (z)} = ┐3. z=i

(d)  0 is an isolated essential singularity.

✘

Provide a brief justification why your choice for f (z) satisfies condition (e). No other justification is required.

Note: The answer is by no means unique.  A simple, explicit choice will be sufficient.  Partial marks will be awarded for a function that satisfies some of these properties, so it is worth starting the problem even if you are not sure right away about how to satisfy all requirements.

Question 6 (5 marks) – Short computations.

Consider the M¨obius transformation

z + i

f (z) =

which we regard as a map from the extended conformal plane C = C ψ |&} to itself.

(a) What are the images of the points i and & under f?

(b)  Compute the inverse of f (z).

(c) Use a parametrisation to show that f (z) maps the circle |z ┐ i| = 1 to a circle C. In your answer you should specify the centre and the radius of that circle.

Question 7 (10 marks) – A standard computation.

Use residue calculus to compute the integral

I = ✂-o(o)   .

In your answer you are expected to clearly address the following points.

✂

❼ the evaluation of J using residue calculus;

❼ the relation between the integrals I and J. This includes a detailed discussion of necessary

limits and estimates (using the ML bound);

❼ the value of the integral I .

Question 8 (11 marks) – Conceptual aspects and two short computations.

The inverse hyperbolic function arctanh z can be defined as an antiderivative using

d                            1    

In the questions below you will use this information to construct a specific antiderivative on the cut complex plane Ω = C \ ╱(┐&, ┐ 1] ψ [1, &)、where the two half-infinite real intervals (┐&, ┐ 1] and [1, &) are removed.

(a)  Give a precise definition of a domain (in the context of complex analysis). Moreover, what

additional property is required for a star domain and what does this entail?

(b) Explain briefly, in not more than one or two lines, why the domain Ω specified above

satisfies this additional property of a star domain.

(c) Use the information provided to write arctanh(z) with z ≥ Ω as a contour integral starting at the origin.

(d) Why is it important in the context of part (c) that Ω is a star domain?

(e)  Determine the Taylor series expansion of arctanh(z) centred at z0  = 0 and specify its

radius of convergence. Provide a brief justification for your claims and computations.

(f) Establish the identity

arctanh(z) =  ←log(1 + z) ┐ log(1 ┐ z)│   for all z ≥ Ω ,

where both logarithms are given by their principal value.

Note: Inside its disc of convergence the Taylor series expansion of the logarithm is given by

o   zn

n  .

n=1

Question 9 (10 marks) – Question with two optional parts.

This question has two parts, A and B, one with an emphasis on computation, the other with an emphasis on proofs. You are expected to address precisely one of these two parts according to your own preferences. If you answer both parts only one of your answers will be marked at the discretion of the examiners.

Optional part A: Emphasis on computation.

Compute the integral

I(s) = ✂0 o  dx .

for suitable values of s ≥ R using methods of residue calculus. In your answer you are expected to clearly address the following points.

☞

❼ the evaluation of J (s) using residue calculus;

❼ the relation between the integrals I(s) and J (s), including a discussion of necessary limits; ❼ the value of the integral I(s);

❼ constraints on the allowed values of s ≥ R for which the computation is valid (based on

the ML bound).

Optional part B: Emphasis on proofs.

(a) Let A ← C and B ← C be two disjoint closed sets and B be bounded.

Show that A and B have a non-zero minimal distance, i.e. that there exists a δ > 0 such that |a ┐ b| 丛 δ for all a ≥ A and b ≥ B .

(b) Let f be an entire function satisfying

│f (z)│ < A + B|z|λ

for all z ≥ C, where A, B and λ are suitable real constants. Show that f (z) is a polynomial of degree 女 λ .

Hint:  Which formula was employed in our proof of Liouville’s  Theorem?