True/False questions (20 points)

1. (4 points) In a principal-agent relationship between owner and manager with hidden e§ort, the owner can design a wage scheme that insures the optimal Örst best e§ort by the manager regardless of the risk aversion of the manager. Justify your answer.

2.   (4 points) Consider a monopoly that faces an inverse demand curve and has a linear cost function. The monopoly would be indi§erent when maximizing proÖts between either choosing quantities or choosing prices.

3.   (4 points) A multiproduct Örm that as monopoly power over several products sets lower prices than separate Örms  (each controlling a single product) when the products are substitutes or when there are economies of scope.

4.  (4 points) In the dominant Örm model (‡ la Hotelling) an increase in the marginal cost of the dominant Örm (with constant marginal costs) implies that proÖts necessarily decrease.

5.  (4 points) Suppose that an industry has 10 Örms where the market shares are ordered from the most to the least dominant Örm {0:5; 0:37; 0:05; 0:03; 0:02; 0:01; 0:01; 0:005; 0:004; 0:001}. The HerÖndahl index is IH  = 0:3.

Problems (80 points)

6.  (20 points) Consider a monopolist facing a linear inverse demand curve p (q) = a - bq, where q denotes units of output and b > 0 represents the slope of the inverse demand curve.  This Örm faces cost function C (q) = F + cq, where F denotes its Öxed costs (can contain sunk costs), c represents the monopolistís (constant) marginal cost of production and assume a > c > 0.

a. (4 points) Find the monopolistís proÖt maximizing output and label it qm . Verify if it is positive.

b. (3 points) What is the market price pm  and the proÖt level 7m ? Is the proÖt level always positive? If not what is the condition for the proÖt level to be positive? Explain

c. (2 points) Find the absolute value of the price elasticity of demand n = - p evaluated at qm  as deÖned in the textbook.  Is the elasticity greater than one?  Find the markup on price or Lerner index, deÖned as L (q) = p(qq(C)/ (q), at qm .  What happens with L when n increases?  Is it true that "A proÖt maximizing monopolist decreases its markup as demand becomes more price elastic? Explain.

d.  (3 points) Find the socially optimal output level q*  which is the value that maximizes consumer surplus (price equals marginal cost). Is it larger or smaller than the proÖt maximizing output, qm , that you found in part (a)? Is it true that q* = 2qm ? Explain.

e. (3 points) Illustrate qm  and q*  in a graph where price is the vertical axis and q is the horizontal axis. Be sure to include the MR and MC curves as well as the inverse demand curve.

f. (2 points) Let us say that a regulator wants to induce the monopolist to produce q*  instead of qm . Would the monopolist have positive proÖts at q* ?  Suppose F represents only sunk costs, would the monopolist produce q*  in this case? Explain.

g.  (3 points) Suppose F are only sunk costs and that the regulator of the monopoly establishes the price the monopoly takes as given and then decides to produce the level that maximizes proÖts. What is the price level the regulator would need to establish for the monopoly to be induced to produce the social optimum level q* ? How would your conclusion change if F are Öxed costs? Explain.

7.   (15 points) Consider the same setup as in the previous exercise but now cost function is convex i.e. C (q) = cq2 .

a.  (3 points) Find qco(m)nvex , pconvex(m)  and 7 convex(m)  which denote the output produced, price and proÖts for the monopolist with convex cost function. Explain.

b. (2 points) Represent what you Önd in a graph like that of 1.d).

c.  (5 point) Under what conditions does the monopolist with convex cost function produce less than the monopolist with a linear cost function as in 1)? Justify your answer.

d.  (5 points) Find the socially optimal output level qc(*)onvex .  Is it larger or smaller than the social optimal output when the monopolist faces a linear cost function? Explain.

8. (20 points) Two Örms competing ‡ la Hotelling with Öxed locations and symmetric constant marginal costs.  Suppose there is a line between 0 and 1 in which two Örms locate themselves, Örm 0 being at point x0  = 0 and Örm 1 being at point x1  = 1.  Each Örm has a linear cost function C (qi ) = cqi  where qi  represents output level of Örm/product i = 0; 1, parameter is such that c > 0.  Consumers are located between 0 and 1 and are distributed uniformly according the the graph below.

0

*

x

1        x

Consumers value the product Örm i = 0; 1 in ri  > 0 and incur a disutility from travelling to the location of the product which is assume to be a linear function of distance. The mass of consumers is normalized to 1 since that is the area in the graph. Indirect utility function for consumers is then V (ri ; pi ; x) = ri - 7 |xi - x| - pi where pi  denotes the price of product/Örm i = 0; 1 and x is the consumer (point) that is located in the line between 0 and 1.  Each consumer wants at most one unit of one of the products, the one that is closest in distance.  Note that the term |xi - x| represents the distance between consumer x and the location xi of Örm i = 0; 1.  For example the consumer located at x = 0:5 has a distance to either Örm of 0.5 since |x0 - x| = |-0:5| = 0:5 and |x1 - x| = |1 - 0:5| = 0:5.  Assume 7 >  |r1 - r0 | > 0 where 7 is the location di§erentiation of the products among the Örms.

The demand for each Örm depends on the existence of an "indi§erent" consumer denoted x*  who is the one point between 0 and 1 that achieves the same utility regardless of the product purchased. This means that this indi§erent x*  consumer satisÖes

r0 - 7 |x0 - x* | - p0  = r1 - 7 |x1 - x* | - p1

or replacing x0  = 0 and x1  = 1 the indi§erent consumer is determined to be after rearranging

r0 - r1 + p1 - p0          1

27                 2

Hence the demand for Örm 0 is the mass of consumers to the left of x*  (base of x*  times the height of one): Q0 (p0 ; p1 ) = r0 一r12r(+)p1 一p0   +  while the demand for Örm 1 is the mass of consumers to the right of x*  (base of 1 - x*  times the height of one): Q1 (p0 ; p1 ) =  - r0 一r12r(+)p1 一p0  . Note that if r0  = r1  and p0  = p1  then the demand for each Örm is 0:5 which is equal to x*  as represented in the graph above. For di§erent values of r0   r1  and/or p0   p1  the indi§erent consumer is not located at 0:5 but will be a point between 0 and 1.

a.  (5 points) Find the best response price pi (pj ) Örm i = 0; 1 for any pj  that Örm j = 0; 1 chooses (Hint: maximize proÖts choosing pi  for Örm i = 0; 1 taking as given pj ).

b. (5 points) Graph the two best response functions in a space where the vertical axis is p1 and the horizontal axis is p0 . Find the Nash equilibrium (p1(*); p2(*)). Are the equilibrium prices above marginal cost when r1  = r0 ? Are they increasing in 7? If so, what does that mean? Explain.

c.  (5 points) What happens to the equilibrium prices if r1  increases while r0  remains constant?  Interpret what you Önd.

d. (5 points) Find the proÖts at equilibrium. Are they positive? What happens to proÖts when 7 increases? Interpret what you Önd.

9.  (10 points) Each of two Örms has one job opening.  Suppose that (for reasons not discussed here but relating to the value of Ölling each opening) the Örms o§er di§erent wages: Örm i = 1; 2 o§ers the wage wi . Imagine two workers, each of whom can apply to only one Örm. The workers simultaneously decide whether to apply to Örm 1 or to Örm 2. If only one worker applies to a given Örm, that worker gets the job; if both workers apply to one Örm, the Örm hires one worker at random (probability 0.5 for hiring worker 1 and probability 0.5 of hiring worker 2) and the other worker is unemployed (which has a payo§ of zero). Suppose workers are risk neutral i.e. u (w) = w .

a. (2 points) Construct the normal form game. (Hint: payo§s in the normal form game are expected utility payo§s)

b.   (2 point) Solve for the pure strategy set of Nash equilibria of the workersí normal-form game when 0:5w1  < w2  < 2w1 . At a pure strategy Nash equilibrium would a worker secure a job? Explain

c.  (3 points) Find the mixed strategy Nash equilibrium (p1(*); p2(*)) and verify that pi(*)   e (0; 1) for i =  1; 2. (Hint: Önd the expected value for worker i = 1; 2 for each A1  and A2  assuming the worker j chooses A1  with probability pi  and A2  with probability 1 - pi  and then equate these two expected values to Önd pi(*))

d.  (3 point) Solve for the set of Nash equilibria of the workersínormal-form game when 0:5w1  > w2 .  At equilibrium would a worker secure a job? Explain

10. (15 points) Consider a N consumers that have linear-quadratic utility function ui (q0 ; q1 ; q2 ) = aq1 + aq2 -  (bq1(2) + 2dq1 q2 + bq2(2)) + q0

where q0  is the Hicksian composite commodity with price normalized to one.  Assume b > |d| > 0 which implies that products are di§erentiated. Consumer i has a budget constraint yi  = p1 q1 + p2 q2 + q0  where yi is the real income of i = 1; ::; N .

a.  (3 points) From the budget constrain isolate q0  as a function of the other variables and then plug it in the utility function. Verify that the Hessian matrix associated with this utility function is negative deÖnite (Hint: Önd second order partial derivatives with respect to q1 and q2 and verify the conditions for the Hessian to be negative deÖnite)

b. (3 points) Find the Örst order conditions of utility maximization and the demand functions (q0 (p1 ; p2 ) ; q1 (p1 ; p2 ) ; q2 (p1 ; p2 ) for consumer i.

N

c. (4 points) Find the aggregate demands Qj (p1 ; p2 ) =5 qj(i) (p1 ; p2 ) for j = 0; 1; 2. Which of these demand i=1

functions do not have income e§ects? Justify your answers.

d.  (3 points) The consumer surplus for consumer i is deÖned as CSi (q0 ; q1 ; q2 ) = ui (q0 ; q1 ; q2 ) - yi . Using the deÖnition of utility function, real income and the Örst order conditions of part b) determine explicitly

N

CSi (q0 ; q1 ; q2 ) for consumer i = 1; ::; N . Find the aggregate consumer surplus CS 三 5 CSi (q0 ; q1 ; q2 ). Is

i=1

the consumer surplus a§ected by income e§ects? Justify your answer.

e.  (2 points) Determien if the following statement is true.  "Given that the aggregate consumer surplus is just a rescale of consumer surplus of an individual then it is without loss of generality as a modelling choice to only consider a representative consumer in the analysis". Justify your answer.