Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

ECON 496: PROBLEM SET 1

2022

1. We’re going to start with the mysterious calculation on L3— how did Budish calculate those probabilities of a successful double spending attack (Recall that the main difference between the Budish calculation and the Leshno et al calculation of L4 was in the modeled probability of a success of a double spending attack):

Formally, Budish uses the probability model of the original Nakamoto paper (linked on our Canvas page). Here are the assumptions:

• the honest nodes can produce a block in exponential time with parameter 1 (recall the exponential distribution,https://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_distribution).

• the attacker, with total power A, can produce a block in exponetial time with parameter A (recall from the slides a majority attacker is A > 1, so that in expectation the attacker is stronger, but in principal a minority attack might also be successful). Let’s do the case of A=2, i.e. the attacker has twice the power of the honest nodes (or 2/3 the total power)

Let’s do the case of 0 escrow. A successful attack requires the attacker to solve more blocks than the honest nodes (so for example it could be producing 1 block before the honest nodes did. Or 2 blocks before the honest nodes produce 1. or so on. Convince yourself any of these will be able to reverse the spend).

How long will an attack have to last for under this assumption? We’re going to have to do this computationally. I’m happy to accept simulations in any language. Below, I’ll walk you through doing this in Excel/ Google sheets.

(a) Figure out how to generate random exponential variables in Excel (Hint: Google it).   (b) Simulate the race between the honest miners (cumulatively generating each new block

in exponential with parameter 1 random time) and the attacker (generating each new block in exponential with parameter A random time).

(c) The race stops when the attacker gets ahead of the honest miner (e.g. the honest miners have generated n blocks but the attacker has generated n+1 blocks).

(d) Run this race 100 times. What is the average n?

Your work should roughly recreate the table 1A, column e=0, row A=2, on page 22 of Budish (linked on Canvas). Show your work (i.e., submit your code/ spreadsheet).

Extra credit: Figure out the correct simulation to run in the case of escrows. Recreate the e=6 column.

2. In L5 we revisited the idea of first-price auctions, and that the bids that buyers make is less aggressive when supply increases to match demand.  Let’s continue to explore this idea. There are n buyers.  Each buyer has a value vi  ∼ U[0, 1] for a single unit of the good.

There are k ≥ 1 units of the good available. Let’s denote by Gk(n) the associated equilibrium distribution of bids with k units for sale and n buyer bidding.

Remember that in the first-price auction, a buyer learns their value vi, submits a bid bi. They do not know others’ values, but know the distribution/ distribution of others’ bids. If their bid is selected (i.e., in the top k bids), they pay their bid, and get a net profit vi − bi. If not they pay nothing and get a net profit of 0.

• Flesh out what we stated in class, i.e., that in a first price auction with 1 unit for sale, i.e. k = 1, it is an equilibrium for each bidder to bid of their value, i.e. if all other bidders are bidding of their value, then it maximizes the bidder’s expected profit to bid the same.

Observe that the bidding behavior of a given buyer gets higher when n increases (i.e. demand increases holding fixed supply. )

• Extra credit Figure out what the equilibrium is in the case that k  = 2.  Show that holding fixed n (demand), bidding behavior decreases as supply (k) increases.