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**PRACTICE** MIFrERM 2 SOLUTIONS MAT223 - FALL 2021


1 (4 points)

Let P = (a, b, 0) where a and b are constants.  Let L be the line through the point (1, 0, 1) and ┌ 1 ┐

'    ' .

Make sure to show all your work.

Let P0 = (1, 0, 1), Q = (2, |1, 1) (with their corresponding vectors written p0 and q) and let d be the direction vector of the line, (1, |1, 0)t. We notice that p0 +d = q.

Now, note that if P is indeed as close as possible to point (2, |1, 1), we must have that the projection of u = P0P(夺) onto d is equal to d. (This is just a quirk of the fact that p0 +d = q.) See this figure:

In any case, we compute u = (a | 1, b, |1)t, then solve ||projd(u)|| = ||d|| to get a | b = 3.           So the final answer is that for any values of a, b satisfying a | b = 3, P will be as close as possible to Q, as desired.

(3 points)

┌2   0     1     |6┐

Let A be the matrix

'0   0     0     |1'

Determine if A is diagonalizable. If it isn’t, explain why. If it is, find an invertible matrix P and

diagonal matrix D so that A = P|1 DP (in this case, you wouldn’t need to compute P|1, just P.) Hint: before you rush to compute the eigenvalues, what form does A have?

From the fact that this matrix is upper-triangular, we can read the eigenvalues off of the main diagonal: 2, 2, |1, |1 (or in other words, the characteristic polynomial will be (x +1)2 (x | 2)2 .

Solving the homogeneous systems (2I | A)x = 0 and (|I | A)x = 0, we get two basic eigenvectors for each, resulting in four basic eigenvectors. Thus, A is diagonalizable.

You should get something equivalent to the following for P and D:

1┐

' 0

D =  '

' 0

'


3

3.1 (3 points) Consider the linear transformation T : R2 R2 defined as the composition Q0 R π Q1 R| π/2 . (Recall that Rθ is counter-clockwise rotation by angle θ, and Qm is reflection through the line y = mx.)

Find the matrix AT for the transformation T without using matrix multiplication.

Hint: draw a picture.

3.2 (4 points) Let S : Rn Rn, for some fixed n 2, be the linear transformation dened by

S ''''xx.2(1)'''' = '''''' x(x)2(1) x(x)3(2) '''''' .

'xn' ''''

For example, if n = 3, then S(「1, 2, 3|t) =「3, 5, 3|t .

Find the matrix AS for S in the case where n = 4, and determine whether AS is diagonalizable or not.

3.1   The idea here is that while we could write down the four matrices for the pieces of T, it’s easier to simply apply each transformation successively to e1 and e2 to get the columns of AT. Your picture could look something like this:


What we can see is that the end result is AT = I2, the identity matrix!

3.2 The matrix AS is

1

'0 ' '0

'0

1

1

0

0

0

1

1

0

0

0 '

' 1 '

'

We can notice right away that (like Question 2), the eigenvalues are just 1, 1, 1, 1, i.e. we just have the one distinct eigenvalue, λ = 1. Solving the system (I | A)x = 0, we’ll find that the matrix has three eigenvectors, e2, e3, e4 . Since there aren’t four, the matrix is not diagonalizable.