Implement the Jacobi algorithm as one function and Gauss-Seidel algorithm as another function to approx- imate the solution x.

INPUT:  An ×n , bn ×1, and ∈ a positive real number.

OUTPUT:  The smallest value of T such that the largest entry of the vector lAy - bl < ∈, and the actual

value of that entry, E = max lAy - bl.

STEP 1:   Set y  =  zeros(n,1)

STEP 2:   For T  =  1,  2,... do STEP 3.

STEP 3:   Update y according to Jacobi or Gauss-Seidel

STEP 4:   Break when max lAy - bl < ∈

STEP 5:   OUTPUT(T, E)

For Jacobi’s algorithm what is the smallest value of T such that the largest entry of the vector lAy - bl < ∈ for ∈ = 1e - 2 (recall this is just how we write 10-2 on MATLAB and Python)? Call this iteration Tj_2, and let Ej_2 be the largest entry value of the vector max lAy - bl using the max(abs(Ay - b)) command. Repeat this for Gauss-Seidel with Tgs_2 and Egs_2.

Repeat the entire experiment for ∈ = 1e - 4, ∈ = 1e - 6, and ∈ = 1e - 8. This will give us Tj_4, Ej_4, Tj_6, Ej_6, Tj_8, Ej_8, Tgs_4, Egs_4, Tgs_6, Egs_6, Tgs_8, and Egs_8. You’re welcome to write these in vectors Tj, Ej, Tgs, Egs instead of scalar variables if you choose to.

Set the row vectors A1, A2, A3, and A4 as A1  =  [Tj_2,  Tj_4,  Tj_6,  Tj_8], A2  =  [Ej_2,  Ej_4,  Ej_6,  Ej_8], A3  =  [Tgs_2,  Tgs_4,  Tgs_6,  Tgs_8], and A4  =  [Egs_2,  Egs_4,  Egs_6,  Egs_8].

PRoBLEM 2

Consider the following simplified scenario of the Covid-19 pandemic. We divide the entire population into three classes:

● Susceptible (S)

● Infected (I)

● Recovered/Immune (R)

The susceptible class has either not been exposed to the virus or has not been given the vaccine.  The infected class will recover eventually but can infect others in the mean time.  The recovered class has either had either been exposed to the virus and has recovered or has been successfully vaccinated.  Lets suppose in this scenario that we do not consider the otherwise grim reality of this pandemic.  We observe that it is difficult to change human behavior/interaction but suppose we can produce vaccinations.  So, we study the effect of vaccination behavior of the outbreak.

Suppose today is day zero and we capture the proportion of the population in each of the classes S, I, R in a column vector

It is observed that each day 1/1, 000 of the infected individuals recover. Each day, 1 out of every 200 susceptible individuals becomes infected. Because of mutations in the virus, 1/10, 000 of the recovered individuals become susceptible again. Through vaccination, we are able to move some fraction of the individuals in S directly to R; call this fraction p where 0 5 p 5 1. Find a matrix M such that

x1  = Mx0

describes the change in the population make up from day 0 to day 1. This is the same matrix that describes the transition of the population from day k to day k + 1. Note that if some number of individuals move from one class to another, you have to remove them from the class they were in originally (the columns of your matrix M should all sum to 1).

(1) With p = 0, determine

(a) For this value of p, save the matrix as A5  = M.

(b) Which day is the first day where at least 50% of the population is infected? Call this day D0 (on Python don’t forget to add by 1).

(c) The system reaches a steady state as the number of days that have passed goes to infinity. Estimate the fraction of the population that is infected in the long term. Call this F0.

In order to prevent tolerance errors, for F0, if you use a for loop, pick a large value (say 100000) to be your final iteration, and break out of the loop only if two subsequent (absolute) values of the infected variable is less than 1e - 8.

(d) Save a row vector A6  =  [D0,  F0].

(2) Now suppose that we are able to successfully vaccinate 2 out of every 1000 of the susceptible people everyday; i.e., p = 2/1000.

(a) For this value of p, save the matrix as A7  = M.

(b) Which day is the first day where at least 50% of the population is infected? Call this day D1 (on Python don’t forget to add by 1).

(c) Estimate the fraction of the population that is infected in the long term. Call this F1

In order to prevent tolerance errors, for F1, if you use a for loop, pick a large value (say 100000) to be your final iteration, and break out of the loop only if two subsequent (absolute) values of the infected variable is less than 1e - 8.

(d) Save a row vector A8  =  [D1,  F1].

PRoBLEM 3

Consider the linear system An φ = ρ, where An  is an n × n matrix with 2’s on the main diagonal, -1’s directly above and below the main diagonal and 0’s everywhere else. For example,