Note 1: You should submit your completed assignment through quercus.

Note 2:  In any question, if you are using R, all your R codes and outputs must be included in your answers.  You should assume that the reader is not familiar with R outputs and so explain all your findings, quoting necessary values from your outputs.

Note 3:  Please note that academic integrity is fundamental to learning and scholar- ship.  You may discuss questions with other students.  However, the work you submit should be your own.  If I feel suspicious of any assignment (e.g.  if your work doesn’t appear to be consistent with what we have discussed in class), I will not mark the assignment. Instead, I will ask you to present your work in in a Zoom session and your grade will be assigned based on your presentation.

Note 4:  In any question, you may use R unless otherwise I have added a note ask- ing not to use R. However, whenever you use R, you must provide the relevant R codes and the outputs and your comments. You mau use the R codes that we have discussed in class, if they help, but please also make sure that your R codes have sufficient com- ments so that the reader can easily understand what you are doing.  If any of them is not provided,your answer, even though correct will be given ZERO credit.  Please make sure that sure that comments address all important findings. I consider answers with inadequate comments as poor answers and deduct points.

Note 5: All questions are in standard notation that we introduced in lectures.

Total points for this assignment: 70

1.  Suppose that Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} and the measurements X : Ω 二 R and Y : Ω 二 R are defined by

X(1) = X(2) = X(3) = 1,

X(4) = X(5) = X(6) = X(7) = X(8) = 2,

X(9) = X(10) = X(11) = X(12) = 3 and

Y (1) = Y (2) = Y (3) = Y (4) = Y (5) = Y (6) = 1,

Y (7) = Y (8) = Y (9) = Y (10) = Y (11) = Y (12) = 2.

(a)  (3 points) Determine fX .

(b)  (2 points)  Calculate FX (2.5).

(c)  (2 points)  Calculate limx个2 FX (x).

(d)  (3 points) Use the relative frequency distribution function fX  you calculated in part (a) above to calculate the value of     xex xfX (x).

(e)  (3 points)  Calculate     ωeΩ X(ω) and . Comment comparing this value

to your answer in part (d) above.

(f)  (3 points) Determine σX(2) .

(g)  (5 points) Are X and Y related? Prove your answer.

(h)  (4 points)  Calculate E(XlY = 1).

(i)  (4 points)  Calculate Var(XlY = 1).

2. A population Π and a measure X on Π produced the data set below: 67, 63, 54, 52, 62, 69, 62, 58

Let  hX   denote the  density histogram function of X  based on the four intervals: (51, 55.6], (55.6, 62.2], (62.2, 65.4] and (65.4, 70].

(a)  (3 points)  Calculate hX (64.4).

(b)  (3 points)  Calculate   62(70)2 hX (x)dx.

3. Let x = (1.56, 2.54, 1.08, 2.45, 0.39, 0.4, 2.56, 1.24, 1.03, 0.33) be an observed sample of size n = 10 from a distribution with probability density function given by:

f (x) = /

where θ > 0 is unknown.

(a)  (7 points) Determine the MLE of θ . Round your answer to two decimal places.

(b)  (5 points)  Calculate the relative likelihood (pθ0 (x)) for assessing the hypothesis

H0  : θ = 0.5.

4.  (3 points) Let x = (1.9, 1.7, 1.9, 2, 1.5) be an observed sample from Uniform[θ -0.5, θ+ 0.5], θ  e R model.   Find the likelihood function L(θlx) and calculate    and L(1.7|x)

L(1.8|x) .

5. In this question, we will look at an example of model checking.  When we have an observed data set from some distribution and we want to check if that is possibly from a Normal distribution, there are many discrepancy statistics that we can use. One of them is to calculate a skewness statistics and see that value is surprising if the