1.  (a)  Find optimal activity levels and equilibrium prices for the following linear programming problem:

max     2x1 + 4x2

s.t. x1 + 2x2  #  8           (K)

x1 + x2  #  5           (N)

3x1 + 8x2  # 30          (L)

x1 , x2  $    0.

(b)  Calculate how much the maximal level ofoutput increases when the endowment ofK increases.  Make the same calculation when N increases.  Compare these marginal products with the prices you found in part (a).  What is going wrong?

2.  Solve the following two minimization problems using the Lagrange multiplier-equilibrium method:

min     5x1 + x2

s.t.       4x1 + 6x2   $  14

x1 + x2   $ 3

x1  $ 0, x2  $ 0.

min     9x1 + 14x2 + 8x3

s.t.       2x1 +   2x2 + 5x3  $  14

2x1 +   4x2 + x3  $  10

x1  $ 0, x2  $  0, x3  $ 0.

3. Find an equilibrium and solution for each of the following problems that uses prices for the nonnegativity constraints.

(a)

(b)

max       2x1 + 5x2 + 7x3

s.t.         4x1 + 2x2 + x3  #

2x1 + x2 + 5x3  # x1 , x2 , x3       $ 0.

(K) (N)

9

18

(K)

(N)

2 2

4.  Consider the functionf, defined on all (x1 , x2) $ 0, given byf (x1 , x2) = x13 x23 .

M2f (x1,x2) (a)  Calculate the second partial derivatives

always positive or negative.                                 Mx

and

to see if they are Mx