1    An RBC Model with Taxes and Public Investment (15 points)

This section asks you to work with a version of the RBC model we have seen in class with 2 modifications. Throughout this section, you can assume that the properties of the utility and production functions that guarantee a well-defined problem hold.  As in the standard model, households accumulate capital and rent it to firms. They also supply labor to these firms. All markets are perfectly competitive, so households and firms take all prices as given.

The modifications to the RBC model are as follows:

1.  Households pay taxes on private-sector capital accumulation and firms pay taxes on their total wage bill (a payroll tax)

2.  The revenue from these taxes is used to finance public physical capital investment, given by invg,t  = kg,t+1 - (1 - 6)kg,t , where kg,t  denotes public physical capital and 0 < 6 < 1 is the capital depreciation rate

3.  Public capital kg,t  (financed with the above tax revenue) is productivity-enhancing in private- sector  production and its effect on firm productivity is taken as given by firms.  That is, public capital acts as a productivity shifter, similar to TFP in the standard RBC model.

1.1    The Firm’s Problem (3 Points)

The firm’s problem consists of choosing labor demand nt  and capital demand kt  to maximize profits It , which are given by

It  = h(kg,t )2t F (nt , kt ) - (1 + rt(p))wt nt - rt kt

where h(kg,t ) is an increasing and concave function of public capital kg,t  that is taken as given by the firm, 2t   is exogenous aggregate productivity,  and  F (nt , kt ) is a standard constant-returns-to-scale production function that is increasing and concave in each of its arguments (think Cobb-Douglas). wt  is the real wage, 0 < rt(p)  < 1 denotes the payroll tax rate, and rt  is the real capital rental rate.  Therefore, wt nt  denotes the firm’s wage bill and rt kt  denotes the firm’s capital bill.  In what follows, assume that h(kg,t ) = (kg,t )α_  , where 0 ≤ ag  < 1, and that F (nt , kt ) = nt(1) gα kt(α), where 0 < a < 1.  Therefore, the profit function above becomes

It  = (kg,t )α_  2t nt(1) gα kt(α) - (1 + rt(p))wt nt - rt kt

Note that the value of ag  dictates how much public capital affects productivity, with a higher value implying a greater positive effect of public capital on productivity.

1.  (1.50 Points) Using the profit function above, find the optimal demand for labor and briefly state the economic intuition of the expression you find, making sure you describe (briefly!)  the role of public capital kg,t  and the role of rt(p)  in affecting the condition you obtain.

2.  (1.50 Points) Using the profit function above, find the optimal demand for capital and briefly state the economic intuition of the expression you find, making sure you discuss the role of h(kg,t ).

1.2    The Household’s Problem (5 Points)

The household owns firms, accumulates private-sector capital to rent it to firms and supplies labor to firms, nt .  Denote by 0 < 8 < 1 the household’s subjective discount factor.  Assume that the per-period utility function of the household in period t is

u(ct , nt ) =  <ct - w 、1 gσ

where parameters 7 > 0, 5 > 1 and w > 0. This functional form for per-period utility embodies Greenwood– Hercowitz–Huffman (GHH) preferences, which are known for eliminating the wealth effect on labor supply.

The household has three sources of income: firm profits Πt , labor income wt nt , and income from renting capital to firms rt kt .  In turn, the household’s expenditures are consumption ct  and private-sector physical capital investment invt  = kt+1 - (1 - 6)kt , where 0 < 6 < 1 is the capital depreciation rate. Households pay taxes on this physical investment, where 0 < rtk  < 1 is the physical capital investment tax rate.

1.  (2 Points) Using the information provided above above, construct the household’s budget constraint for period t, and write down the household’s dynamic optimization problem.  Then, write down the Lagrange and take first-order conditions with respect to the household’s choices  (assume that the Lagrange multiplier on the t-period budget constraint is At ).

2.  (0.25 Points) Using the conditions you obtained in 1., eliminate the multiplier At  and explicitly write

(1) an optimal labor supply condition and (2) an optimal capital accumulation decision.

3.  (2.75 Points) Rewrite the optimality condition for labor you obtained in 2.  in order to isolate nt  on the left hand side. Describe the economic intuition behind the expression you obtain. Formally show how (a) the weight on the disutility of labor and (b) the real wage each affect the household’s optimal labor supply, and briefly explain why your results make sense.

1.3    Closing the Model (3 Points)

1.  (1.5 Points) Using the information provided above, explicitly write down the government budget con- straint.

2.  (1.5 Points) Using the information provided as well as your answers so far, show the steps you follow to obtain the economy’s resource constraint and explicitly explain the expression you obtain and why it may differ from the constraint in the standard RBC model.