Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit


MATH 282

JANUARY 2015 EXAMINATIONS

Field Theory, Partial Differential Equations and Methods of Solution

 

1.   (a)  A surface is defined by the equation

(x2 + y2 + z2)2 − 4xyz = 25

Calculate the equation of the tangent plane to this surface at the point (0,2,1). [8 marks]

(b)  Prove the identity

∇ · (fv) = f∇ · v + v · ∇f

where v is a vector field, and f a scalar field.

[8 marks]

(c)  Check that the vector field

u = (cosxsin y − yz, sinxcos y − xz, −xy + 4z) is irrotational. Construct a scalar field φ such that

u = ∇φ .

[9 marks]

 

2.   The three-dimensional heat equation

 = κ∇2φ

has a solution of the form

φ0(x,y,z,t) = tp exp  −α tq (x2 + y2 + z2)   .

(i)   Find the values of p,q and α which make this suggested solution satisfy the heat equation.

[10 marks]  (ii)  Show that if φ(x,y,z,t) is a solution of the heat equation, then so are

φ1(x,y,z,t)   =   

∂φ

∂t

Use this to find two new solutions of the heat equation.

[7 marks]

(iii)  Use your results from parts (i) and (ii) to solve the heat equation with the initial condition

φ(x,y,x,0) = (1 + x)exp[ − (x2 + y2 + z2)] .

Hint: Solutions of the heat equation can be shifted in space or time.

[8 marks]

 

3.   The displacement of a guitar string, y(x,t), obeys the partial differential equation

= V2

∂t2               ∂x2

where V is a constant. The two ends of the string are fixed, giving the boundary conditions

y(0,t) = 0,    y(L,t) = 0       for   all   t .

 

(i)   Use separation of variables to find the general solution of this PDE.  [10 marks]

(ii)  At t = 0 the guitar string is given an initial velocity proportional to x,

so that

y(x,0) = 0,        = cx       for   0 < x < L .

Find an expression for y(x,t) at later times.

[15 marks]


4.     (i)   Consider the two vector fields

(a)          u =    ,

(b)          v =    ,

Cx

x2 + y2 + a2  ,

Cx

x2 + y2 + a2  ,

 

 


where a and C are constants.  Only one of these could be a magnetic field, the other could not. Say which of these fields can not be a magnetic field, justifying your answer.

[9 marks]

(ii)  For that field in part (i) which could be a magnetic field, calculate the electrical current density, assuming there are no time-varying electric fields in this problem.

[10 marks]

(iii)  From your answer to (ii), calculate the total electric current flowing through the disc

z = 0,       x2 +y2  < 1 .

Check your answer by calculating the line integral of the magnetic field around the boundary of the circle.

[6 marks]

 

5.   The temperature T(θ,t) in a metal ring obeys the diffusion equation

∂T        ∂2T

∂t         ∂θ2

where K is a positive constant. The angular coordinate θ will be chosen to run from −π to π. The temperature obeys the periodic boundary condition

T( −π,t) = T(π,t) .

The initial temperature around the ring is

0

 

            π4  < θ ≤ π

 

(i)   Use separation of variables to find all solutions of the partial differential equation with the form T(θ,t) = P(θ)Q(t)

[7 marks]

 

(ii)  Use your solutions from part (i) to write down T(θ,t), the temperature of the ring for t > 0. What is the limiting temperature as t → ∞?

[18 marks]

 

6.   An array of equally spaced parallel wires are placed in the z = 0 plane and given a charge. The wires run in the y-direction, The resulting electrical potential is

φ(x,y,z) = C ln[cosh(2πβz) − cos(2πβx)]

where C and β are constants.

(i)   Calculate the electric field E, and verify that it satisfies ∇ · E = 0, except at the singularities of φ .

[10 marks]

(ii)  Find the positions of the charged wires, and the spacing between them. Hint:   When is φ singular?

[5 marks] (iii)  Calculate the limit of the electric field as z → ∞ and as z → −∞ .

[5 marks]

(iv)  Using Gauss’s Law, or otherwise, calculate the charge per unit length on the wires.

[5 marks]