SEMESTER 1 EXAMINATIONS 2019-20

ECON6023 Macroeconomics

Section A

A1 (25 points) Consider a two period (t=0,1) version of the neoclassical

growth model with the choice of labour input:

max       ln(c0 ) - Bh0 + β (ln(c1 ) - Bh1 )

c0 ,c1 ,k1 ,k2 ,h0 ,h1

s.t.:

c0 + k1 = k0(α)h0(1) -α ,

c1 + k2 = k 1(α)h 1(1) -α .

where β e (0, 1), B > 0, c0 , c1 , k1 , k2 , h0 , h1  > 0, α e (0, 1) and k0  is given. All variables have the usual meaning.

(a) Formulate the optimization problem in the last period, t = 1. What is/are the state variable(s) in period t =  1?   Find the optimal decision rules for c1 , k2  and h1 , and the value function

V1 .                                                                                        [12.5]

(b) Formulate the optimization problem in period t = 0 recursively,          in terms of the value function in the last period, V1 .  Solve for          the optimal decision rules for c0 , k1  and h0 .                              [12.5]

A2 (25 points) Consider the Markov chain with 3 possible states, X =

{e1 , e2 , e3 }, and the following transition matrix:

P =  ┌  ┐

'0.25  0.25  0.5'

(a) Compute the following probability:

Prob(et+2 = e2 let = e1 )

[7]

(b) Find the transitory state(s) and the ergodic set(s) of this Markov

chain.

(c) Define the stationary distribution π of the Markov chain.

[5]

[5]

(d) Use the definition in (c) to find the stationary distribution of

this Markov chain.

[8]

Section B

Consider an economy populated by a representative household that lives forever. Time is discrete. The household solves:

o

max                 βt [u (ct ) + v (1 - ht )] ,

{c≠,h≠,i≠,k≠+1,b≠+1}  t=0

subject to

pt bt+1 + ct + it = rt (1 - τk,t )kt + (1 - τw,t )wt ht + bt ,

kt+1 = (1 - δ)kt + it ,

kt+1  > 0,

and

bt+1  > b.

bt+1  is government debt which the government must pay back to the household in period t + 1.  This asset is traded in period t at price pt .  b < 0 is a lower bound on bonds held by the household:

this lower bound avoids Ponzi schemes and is loose enough to not bind in equilibrium.

The initial level of government debt is zero: b0 = 0. The initial level of capital is positive:  k0  > 0.  All other variables have the usual interpretation.

In each period, tax revenues and government debt are used by the government to finance some exogenously given and constant gov- ernment spending G > 0.  Perfectly competitive firms solve each period

max ┌Af (kt(d), ht(d)) - rt kt(d) - wt h┐t(d) ,

k,h

where kd  and hd  denote capital and labour demand.  A > 0 is a productivity parameter. Preferences and production function f have

the usual neoclassical assumptions.  β and δ e (0, 1), and agents have rational expectations.

(a) List the assumptions on preferences that ensure a concave prob-

lem for the household.

(b) Write down the problem of a benevolent planner.

(c) Find the first order conditions of a benevolent planner.