Background

This product deals with geometric concepts in 皿n, in particular in 皿3.  For vectors z← y ∈ 皿n, let us

recall of the definition of the Euclidean norm and of the scalar product (or dot product),

For z← y ∈ 皿3, we can also define the vector product (or cross product)

Note that the vector product is defined for vectors in three dimensions only, not generally in 皿n .      Given these basic notions, we can compute a number of relevant geometric quantitities.   The

/i之à/r宏l 宏n|là between two vectors z← y ∈ 皿n  is the number φxy  ∈ [0← π] such that

The soli/ 宏n|là enclosed by three vectors z← y← 3 ∈ 皿3  is the number Ωxyz  ∈ [0 ← 2π) such that

Further, two (not collinear) vectors in 皿3  define a plane through the origin, and the dihedral angle θxy,zw  ∈ [0 ← ] between two such planes, spanned by vectors z← y and 3← w respectively, is

whichever of these two is smaller.

The purpose of the project is to develop a set of functions that compute these various angles and quantities derived from them.

Tasks

Throughout this project, all vectors  (in parameters or return values) should be represented using the double[] type, and floating point numbers (e.g., for return values) should be of type double. Whenever a function takes array parameters as its input, make sure that these input arrays are not modified within the function.

(1) Basic functions

Implement the following functions in the class Vectors.

For all functions, take specific care of exceptional values in the input:  If any of the input data is invalid, the return value should be null (for functions that return a vector) or Double.NaN (for functions that return a number).  The input data is invalid if any of the input vectors is null, or if the vector dimensions do not match what is expected in the definitions (1)–(5).

You can ignore the case that any of the denominators in the expressions (3)–(5) might be zero, or that any number there is out of the range of the relevant trigonometric functions due to roundoff errors.

We take the convention that the norm and scalar product of vectors with no components (n = 0) is 0.

(2) An identity

It is claimed that for any z← y← 3 ∈ 皿3 ,

Let us verify this equation (with our conventions for the angles) for different values of z← y← 3. To that end, within the class ProposedIdentity:

(a) Implement a function formulaVerification,  which takes three vectors z← y← 3 as parameters,

evaluates the expression

and returns the resulting number as double.  The function should return Double.NaN whenever the expression cannot be evaluated (cf. also part 1).

(b) Implement a function correctnessRatio that does the following n times (where n is an integer

parameter to the function, and you can assume n > 0):

≤ It chooses three vectors z← y← 3 ∈ 皿3  at random.   “Choosing at random” means that each

component of the vectors is chosen independently according to a uniform distribution on the interval [ − 1 ← 1].  (Such a random number can be obtained with the expression                       2.0*Math.random()  -  1.0 .)

≤ It evaluates the expression (7) for those z← y← 3 and checks whether the result is zero up to

a reasonable roundoff error.   More precisely,  it checks whether the absolute value of the expression is smaller than 10 ←8 .

The function then counts the number of times k that the expression is zero in this sense, and returns the ratio k/n as a floating point number, i.e., the relative frequency by which the formula (6) is correct.

(3) Finding the smallest angle

Your task here is to write a function that finds, among a list of k vectors u(0)← u(1) ← – – – ← u (k ← 1)  ∈ 皿3 , those three vectors which span the smallest possible solid angle. More precisely:

Within the class MinFinder, implement a function minimumSolidAngle. It takes an array v of type double[][] as input, which is interpreted as a list of vectors (e.g., v[0] would be of type double[] and be interpreted as the vector u(0)  in the list, v[0][2] would be of type double and be interpreted as the component u, etc.). It finds among all combinations of three vectors in the list v those three vectors z← y← 3 (with pairwise /i◆àrànt indices in the list) for which Ωxyz  has the smallest value.

The function should return its result in a composite data type SolidAngleResult which has the following fields:

The three vectors z← y← 3 should be ordered as they appeared in the original list v, i.e., z has the lowest index and 3 the highest among the three vectors.

In case of exceptional input values, the function should return null. This includes the case where any input vector or array is null, where an input vector is of incorrect dimension, or where the list v has fewer than 3 elements.

(4) Documentation

Within the source code, add Javadoc comments to every function, to every class, and to every field of composite data types. In these comments, describe the purpose of the function, class or field, and document all parameters and return values. Also, describe the handling of any special or exceptional input values, and any assumptions made on the parameter ranges.

How to prepare your submission

Start by downloading the template files from Moodle.  The Java classes that you will work with are already defined there.

Read the assignment sheet carefully.  Be sure to implement all functions with exactly the names, parameters and return types that are specified, and with parameters in the order as given.

While preparing your code, please follow these style and formatting guidelines.  (This forms part of the assessment.)

≤ Place all code block delimiters – { and } – on separate lines.

≤ Within code blocks, indent the code by 4 spaces with respect to the surrounding code.            ≤ Choose all names for variables, parameters, and functions to start with a lowercase character.

Make sure that your code compiles correctly.   If the source code files that you submit do not compile (for whatever reason), you will receive zero marks for the affected parts of the project.

The code template also includes a unit test.  This test does not check the output of your code – it only verifies whether you have declared your functions with the correct names and with the correct parameter/return types. You are advised to use the unit test to check your function declarations for any typos.

Test every piece of your code with meaningful test data  (including any special or exceptional values). Verify that the output of your functions is plausible.

Once you are satisfied with the code, create a JAR file in BlueJ as follows:

≤ Select “Project → Create Jar file” in the menu.

≤ Leave “Main class” set to “none”.

≤ Be sure to tick  “Include source” and “Include BlueJ project files”.

≤ Click “Continue” and save the file in a convenient location.

This JAR file is the one that you need to submit.

Hand-in, late submissions

Please submit your work by uploading it on Moodle before

Thursday, 20 January 2022 (week 2 Spring term), 13:00:00h.

Your submission should consist of the JAR file (see above) and of nothing else.

Late submissions will incur a penalty according to the University’s standard rules:  “Work which is up to one hour late will have five percent of marks deducted.  After one hour, ten percent of the available marks will be deducted for each day (or part of day) that the work is late, up to a total of five days, including weekends and bank holidays, e.g., if work is awarded a mark of 30 out of 50, and