SECTION A

1.  Let A denote a m  n matrix with rank(A) = n.  Show that A0A is a positive denite matrix.                                                                                       [8 marks]

2.  Let {(yi,x )}  be a sequence of independently and identically distributed (i.i.d.) random vectors. Suppose that yi is a dummy variable and so has a sample space of {0, 1} with P(yi  = 1|xi) = (x  0) where (  ) is the cumulative distribution function of the standard normal distribution.  Derive the (conditional) likelihood function based on {(yi,x )}  .                                                              [8 marks]

3.  Let {VT,T  =  1, 2,...} be a sequence of scalar random variables and V be a scalar random variable.

(a)  Provide a formal denition of what is meant by the statement that VT  con-

verges in distribution to V .                                                             [3 marks]

(b)  Provide a formal denition of what is meant by the statement that VT  con-

verges in probability to V .                                                              [3 marks]

(c) What is the relationship between the two forms of convergence?  Specif- ically,  does convergence in distribution imply convergence in probability and/or vice versa?                                                                          [2 marks]

4. A researcher wishes to estimate the following model:

ln(wage) = 0 + 1educ + 2exper + 3expersq + u

where ln(wage) is the log of the hourly wage, educ is the number of years of education, exper is the number of years of experience, expersq = (exper)2, and u is the error. The researcher believes that educ may be an endogenous regressor and so elects to estimate the model via Two Stage Least Squares (2SLS) using motheduc and fatheduc as instruments where these two variables are dened to be the number of years of education for the individual’s mother and father respectively.

(a)  Explain why educ may be an endogenousregressorin this model.  [3 marks] (b)  Explain how to implement 2SLS estimation of this model.             [5 marks]

5.(a)  If {vt} is a scalar covariance (weakly) stationary univariate time series process

then what restrictions does the process satisfy?

5.(b) Consider the time series regression model

yt   =  x + ut

[3 marks]

(1)

where ut follows an Autoregressive model of order one (an AR(1) process) with autoregressive parameter . The Generalized Least Squares estimator of 0 can be obtained for any given value of  via Ordinary Least Squares based on the quasi-differenced version of (1) that is, from the regression of y¨t   = yt    yt  1 on t   = xt    xt  1 .  Show that the quasi-differenced equation can be viewed as a more general linear time series regression model subject to the so-called

common factor restriction.                                                                     [5 marks]

SECTION B

6. Consider the linear regression model

yi   =  x0  + ui                                                                      (2)

where xi is k  1 vector of explanatory variables, 0 is the k  1 vector of unknown   regression coefcients and ui  is the error term.  Assume the following condi-   tions hold: (i) Equation (2) is the true data generation process; (ii) {(ui,x ), i =   1, 2,...N} is an independently and identically distributed sequence of random   vectors; (iii) E[xix ] = Q, a nite, positive denite matrix of constants; (iv) E[ui|xi] = 0; (v) Var[ui|xi] = h(xi) and h( . ) is a positive function of unknown form. The OLS   estimator of 0  is ˆN  = (X0X)  1X0y where y is N  1 with ith  element yi , X is   N  k with ith  row x and X is assumed to have rank equal to k .

(a)  Is ˆN  an unbiased estimator of 0  in this model? Provide a formal justica- tion for your answer.                                                                       [8 marks]

(b) Assume N1/2(ˆN    0)  N(0,V) and   V.  Dene R to be a nr    k matrix of specied constants such that rank{R} = nr, and r to be a nr    1

vector of specied constants. Consider the test statistic

WN   =  N(RˆN    r)0 (RR0)  1 (RˆN    r).

Assuming also that R0 = r, show that WN   ⃞r  being sure to clearly state any large sample distributional results used in your answer.       [12 marks]

(c) A colleague assumes that h(xi) = pxi0xi  and then bases inference about  0  on the resulting Generalized Least Squares (GLS) estimator.  Evaluate the advantages and disadvantages of this approach relative to inferences based on the OLS estimator of 0.                                               [10 marks]

7.(a) Consider the model

ut   =  wt  + wt  1 ,       t = 1, 2,...,T,                             (3)

where   0, and {wt} is a white noise process with variance  . Let2 u denote the T  1 vector with tth  element ut. Show that Var[u] = , where  is a T  T matrix with (t,s)th element t,s and the non-zero elements of  are given by:

  t,t  = 2 (1 + 2) for t = 1, 2,...,T;

  t,s = 2 for s = t + 1, t = 1, 2,...,T  1 and t = s + 1, s = 1, 2,...,T  1.  [14 marks]

7.(b) A researcher estimates the following model for monthly wage growth in an indus-

try based on monthly data from February 1947 to December 1997,

yt   =  0  + x1,t1  + x2,t2  + εt

where yt  is the wage growth in the industry in period t, x1,t  is the growth in the minimum wage in period t, x2,t is the growth in the consumer price index in period t, and εt  denotes the error. If xt  = (x1,t,x2,t)0  is strictly exogenous in this model

then what restrictions must {xt,εt} satisfy?                                      [6 marks]

(c) OLS estimation of the model in part (b) yields the following results:

t  = 0.002 + 0.151x1,t    0.244x2,t

[0.001]         [0.050]                 [0.075]

where conventional OLS standard errors are in parentheses ( ) and Newey-West standard errors are in square brackets [ ]. The p-value of the Breusch-Godfrey test for serial correlation in the errors at order 1 is 0.005.  Test whether these regression results suggest that an increase in the growth rate of the minimum wage leads to an increase in the growth rate of the industry wage, being sure to explain clearly:  the null and alternative hypotheses in terms of the relevant regression parameters; the test statistic (including a justication for your choice of standard errors); the decision rule; and the outcome of the test.    [10 marks]

8. Consider the Instrumental Variables (IV) estimator of the k  1 parameter vector 0  in the linear regression model

yi   =  x0  + ui ,                                              (4)

based on the population moment condition

E[ziui(0)]  =  0,                                              (5)

where ui() = yi  x , xi  = (1,x,i)0  is k  1 vector and zi  is a q  1 vector. It is assumed that the instruments satisfy the relevance condition and so,

E[ziui()]    0, for all   0 .                                   (6)

(a) Assuming equation (5) holds, show that the relevance condition in (6) can

be equivalently stated as rank{E[zix ]} = k.                                 [8 marks] (b) Suppose that q = k = 2 and zi  = (1,z2,i). Show that the relevance condition

is satised if and only if Corr(x2,i,z2,i)  0.

(c) Now assume that q = k so that the IV estimator is given by:

ˆIV   =  (Z0X)  1Z0y,

[8 marks]

(7)

where Z is the N  k matrix with ith  row z , X is the N  k matrix with ith  row x, and y is the N  1 vector with ith  element yi.  Further assume that {(ui,x,z ) 0 ; i = 1, 2,...,N} is a sequence of independently and iden- tically distributed (i.i.d.)  random vectors that satisfy:  (i) equation (4); (ii) E[ui|zi] = 0; (iii) Var[ui|zi] = , a positive, nite constant; (iv) E[zix ] = Qzx , a nonsingular nite matrix; and (v) E[ziz ] = Qzz, a nonsingular nite matrix.

Show that

N1/2(ˆIV     0)    N (0, VIV )

where VIV  = QQzz{Q}0 , being sure to clearly state any large sample distributional results used in your answer.                                   [14 marks]

Hint: you may quote the generic form of the Weak Law of Large Numbers,

N  1 P wi   w, but must verifyw  for the specic choices ofwi  relevant

to your answer; you may also quote the generic form of the Central Limit Theorem, N  1/2 P(wi     w)  N(0, w) but must verify w  and w  for the specic choices ofwi  relevant to your answer.