Question 1

(a)  In each of the following cases,  determine whether or  not the collection of subsets

τ S p(X) determines a topology on the given set X :

(i) X = {0, 1, 2, 3}, τ := {0, X, {0}, {1}, {0, 1}, {1, 2}, {2, 3}, {0, 1, 2}, {1, 2, 3}}; (ii) X = Z the integers, and A e τ if A = 0 or A contains an even integer.

(iii) X any set, A S X and

τ := {0, X, A, X \ A} .

(b)  Let X = R and

τ := {0} u {A S R I R \ A countable} .

(By countable, we mean either finite (including empty) or bijective to the natural num- bers.  In particular, R e τ .)

(i)  Determine whether or not the topological space (R, τ ) is connected. Justify your answer.

(ii)  Determine whether or not the topological space (R, τ ) is Hausdorff. Justify your

answer.

(iii)  Let (an )neN  be a sequence of elements of R. Show that if an  converges to e e R with respect to the topology τ , then there exists N e N such that an  = e for all n > N .

[Note: You are not required to show that τ defines a topology on R .]

(c)  Let (X, τ ) be a Hausdorff topological space.  Let A S X be a finite subset of X .

(i)  Let x e X \ A. Show that there exists an open set Ux  S X such that x e Ux , and Ux n A = 0 .

(ii)  Show that A is closed.

Question 2

(a)  Let M = RP3 , where RP3  = (R4 \ {0}) / ~ .  Here ~ is the equivalence relation on

R4 \{0} defined by stating that x1 , x2  e R4 \{0} satisfy x2  ~ x1  if there exists λ e R\{0} such that x2  = λx1 . The equivalence class of a point x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) e R4 \ {0} is denoted by [(x1 , x2 , x3 , x4 )] e RP3 .

We define charts (Ui , ϕi ), i = 1, 2, 3, 4, by

Ui  = {[(x1 , x2 , x3 , x4 )] e RP3  I xi   0},        i = 1, 2, 3, 4,

with

ϕ 1 : U1  → R3 ;    ϕ 1 ╱┌(x1 , x2 , x3 , x4 )┐、:= ╱  ,  , 、 , ϕ2 : U2  → R3 ;    ϕ2 ╱┌(x1 , x2 , x3 , x4 )┐、:= ╱  ,  , 、 , ϕ3 : U3  → R3 ;    ϕ3 ╱┌(x1 , x2 , x3 , x4 )┐、:= ╱  ,  , 、 . ϕ4 : U4  → R3 ;    ϕ4 ╱┌(x1 , x2 , x3 , x4 )┐、:= ╱  ,  , 、 .

(i)  Show that the charts (U2 , ϕ2 ) and (U3 , ϕ3 ) are compatible. Show that the charts (U1 , ϕ 1 ) and (U4 , ϕ4 ) are compatible.

[You may assume, without proof, that the maps ϕi , i = 1, . . . , 4, are bijections onto their images.]

(ii) Assuming that the charts (Ui , ϕi ) and (Uj , ϕj ) are compatible for all i and j, show

that RP3  is a differentiable manifold of dimension 3 .

(b)  Let M = RP3 , with charts {(Ui , ϕi ), i = 1, . . . , 4} as in part (a).  Let N = R, with

chart (V, ψ) with V = N = R and ψ : R → R the identity map (i.e.  ψ(y) = y for all y e R).

Let f : RP3  → N be the map

x  x                     f ╱┌(x1 , x2 , x3 , x4 )┐、:=

Show that the map f is well-defined and smooth.

Question 3

Let M = R3 , with chart (U, ϕ) given by U = M = R3  with ϕ : R3  → R3  the identity map and

Cartesian coordinates (x, y , z) e R3 .  Let (a, b, c) e R3  be fixed, and f : M → M the map (x, y , z) 1→ f (x, y , z) := (a + x, b + y cosh a + z sinh a, c + z cosh a + y sinh a) .

(a)  Show that, for all 女0  = (x0 , y0 , z0 ) e M , the tangent map T女0 f : T女0 M → Tf(女0) M takes the form

(T女0 f) ╱  │女0\ =  │f(女0) ,

(T女0 f) ╱  │女0\ = cosh a   │f(女0) + sinh a   │f(女0) , (T女0 f) ╱  │女0\ = cosh a   │f(女0) + sinh a   │f(女0) .

(Please state, without proof, any results that you use concerning the coordinate rep-

resentation of the tangent map.)

(b)  Show that the vector fields

e1 I女  :=  │女 ,

e2 I女  := cosh x   │女 + sinh x   │女 , e3 I女  := cosh x   │女 + sinh x   │女 ,

for all 女 = (x, y , z) e M have the property that

(T女0 f) ╱ei I女0 、= ei If(女0) ,    i = 1, 2, 3,

for all 女0  e M .

(c)  Find the basis {σ1 , σ2 , σ3 } for T女0(*) M dual to the basis {e1 , e2 , e3 } for T女0 M given in part (b). Using the results of part (b), and stating any results that you use, how would you expect the pull-backs (T女0 f)* σ i , i = 1, 2, 3, to be related to the forms σ 1 , σ2 , σ3 ?

(d)  Calculate explicitly the (1 , 1) tensor field      σ i 8 ei , simplifying your result as much

as possible.