Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit


MAT3009/5/Semester 1 19/20

Manifolds and Topology


 

Question 1

Let X be a set, and let 7 C p(X) a collection of subsets of X .

(a)    (i)  State the conditions that 7 must satisfy in order to define a topology on X.

(ii)  State the additional condition required in order that the topological space (X, 7)

be Hausdorff.

(b) Let X := {a, b, c} be a set consisting of three elements.

(i)  Give a topology 71  on X that is Hausdorff.

(ii)  Give a topology 72  on X that is not Hausdorff. State why 72  is not Hausdorff.

(c) Let (X, 7) be a Hausdorff topological space, and (zn )n∈N  a sequence of elements of X .

(i)  Give the definition of the statement that the sequence (zn )n∈N  converges to a point g e X .

(ii)  Show that if a sequence (zn )n∈N  converges to g e X and also converges to r e X then g = r.

(d) Let N be a set containing n elements, where n > 3.  Let 7 be a topology on N with the property that all subsets of N containing n - 1 elements are open.


(i)  Show that all subsets of N containing n - 2 elements are open.

(ii) Determine all open subsets of N .


Question 2

(a) Let M be a set.

(i) What does it mean to say that “(U, u) is a chart on M”?

(ii)  State the properties that charts (U, u), (V, o) on M must have in order to be com- patible.

(iii)  State the properties that a family of charts {(Uα , uα ) I a e A} must have in order to define an atlas on M.

(b) Let M be the ellipse

M := ,(z, y) e 2  │ ╱   2 + ╱  、 2  = 1 ,

where a, b > 0 are real numbers. Let

N := (0, b),        s := (0, -b).

denote the North and South poles, and define the open sets

UN  := M \ {N},        US  := M \ {s}.

Let uN  and uS  denote the stereographic projection maps,

uN : UN  → ,        uS : US  → ,

from the North and South poles, respectively.

(i) Determine explicit expressions for uN  and uS  in terms of the components of points in UN  and US  respectively.

(ii) For a point g e UN  n US , compute uN (g) . uS (g), simplifying the result as much as possible.

(iii)  Show that uN o uS(_)1 : uS (UN n US ) → uN (UN n US ) is a smooth, bijective map.

(iv)  Show that M is a smooth manifold of dimension 1.

[You may assume, without proof, that the maps uN  and uS  are bijections.]

(c) Let M, N be smooth manifolds, and f : M → N a map.

(i) Define what it means for the map f : M → N to be smooth (or C& ).

(ii) Let N  = 皿, with chart (V, o) where V  = 皿 and o : V  → 皿 the identity map o(z) = z for all z e V = 皿.  Let M be as in part (b), with charts (UN , uN ) and (US , uS ). Show that the map

f : M → 皿;    f ((z, y)) := y

is smooth.

 

Question 3

(a) Let M be a manifold, and g e M .

(i) Let c1 , c2 : 皿 → M be smooth curves with c1 (0) = c2 (0) = g. Define what it means to say that c1  and c2  are tangent  (or tangential) at g with respect to a chart (U, u) around g.

(ii) Let (U, u),  (V, o) be (compatible) charts around g, and c1 , c2 : 皿 → M smooth curves that are tangential at g with respect to (U, u). Show that c1 and c2 are tangential at g with respect to (V, o).

(iii)  Give the definition of a tangent vector to M and g.  Define the tangent space to M at g, Tp M.

(iv)  Given smooth manifolds M , N and a smooth map f : M → N, give the definition of the tangent map Tp f : Tp M → Tf (p)N.

(b) Let M = 皿3 , with chart (U, u) given by U = 皿3  with u : 皿3  → 皿3  the identity map and Cartesian coordinates (z, y, 3). We identify tangent vectors and vector fields with differential operators o(z, y, 3)  + u(z, y, 3)  + w(z, y, 3)  in the standard way.    Let (a, b, c) e 皿3  be fixed, and f : M → M the map

(z, y, 3) 1→ f(z, y, 3) := (a + z, b + a3 + y, c + 3) .

(i)  Show that, for all x0  = (z0 , y0 , 30 ) e M, the tangent map T&L f : T&L M → Tf (&L ) M takes the form

(T&L f) ╱  =  ,    (T&L f) ╱  =  ,    (T&L f) ╱  =  + a  .

(Please state, without proof, and results that you use concerning the coordinate rep-

resentation of the tangent map.)

(ii)  Show that the vector fields

 

e1  :=

property

(T&L f) (ei ) = ei ,    i = 1, 2, 3.

3 .

(z, y, 3) e 皿3

(iii) Find the basis {91 , 92 , 93 } for T&(*)L M dual to the basis {e1 , e2 , e3 } for T&L M given

in part (ii).

(iv)  Calculate explicitly the (1, 1) tensor field much as possible.

i(3)=1 9i 8 ei , simplifying your result as


 

Question 4

(a) Let M be a manifold, w e Ωk (M) and 1 e Ωl (M).

(i)  State, without proof, the relationship between w A 1 and 1 Aw.

(ii) Let M = 皿n , with coordinates (z1 , z2 , . . . , zn ). Let w e Ωk (M) be given by

w :=         ←        wi6 i| ... ià (z) dzi6  A dzi|  A . . . A dzià .

1冬i6 <i|<...<ià冬n


Give the definition of dw .

(iii) Without proof, state the expression for d(w A 1) in terms of dw and d1 .

(b) Let M = 3  with Cartesian coordinates (z, y, 3), and

a := A dy A d3 + B d3 A dz + C dz A dy e Ω2 (皿3 )

where A, B, C are smooth functions of (z, y, 3). Find da, writing your result in terms

of the divergence of a vector field on 皿3 .

(c) Let M be a four-dimensional manifold with local coordinates (u, o, n, r). Let

91  = - sin o dn + cos o sin n dr,

92  = cos o dn + sin o sin n dr,

9  = do + cos n dr.

Let 8, 7 e Ω2 (M) be given by

8 := f(u) ╱du A 91 + u 92 A 93,

7 := g(u) ╱du A 91 - u 92 A 93,

where the functions f(u), g(u) depend only on the coordinate u .

(i)  Compute d91 , d92 , d93 , expressing the results in terms of the forms 91 A 92 , 92 A 93 and 93 A 91 .

(ii)  Calculate 8 A 7, simplifying your result as much as possible.

(iii) Determine explicitly all functions f(u) and g(u) for which the two-forms 8 , 7 are closed, i.e. d8 = 0 and d7 = 0.