Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit


Mathematical Modelling and Analysis I

Coursework 2



Guidance for Submissions: Failure to follow this guidance might result in a penalty of up to 10% on your marks.

I.      Submit a single Word/LaTeX/PDF document with questions in ascending order. Explain in detail your reasoning for every mathematical step taken. Use dimensional analysis to    start a question as often as possible.

II.      Do not write down your name, or student number, or any information that might help  identify you in any part of the coursework. Do not write your name or student number in the title of your coursework document file. Do not copy and paste the coursework     questions into your submission – Simply rewrite information where necessary for the    sake of your argument.

III.      Insert relevant graphs or figures, and describe any figures or tables in your document. All figures must be labelled, with their axes showing relevant parameters and units.

IV.       You will need MATLAB coding to solve most questions. Include all code in an Appendix at the end of your document. Remember to comment on your code, explaining your          steps.

This coursework counts towards 20% of your final ENGF0003 grades and comprises three questions, referred to as models. Each model is worth a total of 100 marks. Model 1      will make up 30% of your CW2 grade, Model 2 will make up 40% of your CW2 grade, and

Model 3 will make up 20% of your CW2 grade.

 

Model 1: Drug Transport into the Heart [40%]

 

 

Figure 1. Schematic of blood flow in the heart.

Nutrients and therapeutics are transported throughout our body and into organs via the circulation of blood. Suppose that blood flowing in and out of the heart with rate  [cm3  min-1] carries a drug at a concentration  [mg cm-3]. The volume of blood in the heart is also given by 0  [cm3]. The average human heart can pump 4 litres of blood per minute and has an average volume of 280 cm3 .

Although  was assumed to be constant in question 1a, the concentration of drugs injected in the bloodstream is known to decay as an exponential function of time given by:

 () =  exp(−)

In this expression,  [mg] is the dose of drug injected,  = 1.3 × 10−4  [cm-3] is the inverse volume of drug distribution in blood plasma,   [min-1] is the half-life constant for the drug, and  is the time in [min].

Table 1. Experimental measurements for drug concentration in blood plasma.

  () [mg ml-1]

 [min]

Measurement 1

Measurement 2

Measurement 3

0

0.044899

0.045775

0.044571

0.2

0.039223

0.040378

0.04

0.4

0.034452

0.033888

0.034524

0.6

0.029701

0.029814

0.029149

0.8

0.026727

0.02711

0.026908

1

0.023718

0.02256

0.022417

1.2

0.019134

0.020123

0.019274

1.4

0.016724

0.018039

0.016481

1.6

0.015413

0.015993

0.014639

1.8

0.012824

0.013373

0.012533

2

0.012316

0.010604

0.011679

2.2

0.01084

0.008988

0.009047

2.4

0.008908

0.008857

0.008179

2.6

0.00822

0.00764

0.007076

2.8

0.006342

0.00745

0.007288

3

0.005951

0.006177

0.00558

3.2

0.005914

0.005275

0.00546

3.4

0.00443

0.004359

0.004517

3.6

0.004612

0.003279

0.004315

3.8

0.003704

0.004183

0.002505

4

0.002814

0.002925

0.003792

Model 2: Conservation of Endangered Species [40%]

Figure 2. An African wild dog in the sun.

The African wild dog is an endangered canine species native to sub-Saharan Africa. Their scientific name Lycaon pictus means "painted wolf", referring to their irregular coat with red, black, brown, and yellow fur patches. These carnivore wild dogs are known for living in packs and being highly social. Their lifespan goes up to 11  years,  and  estimates  say  that  about  6,600  adults  currently  live  in  about  39 subpopulations.

The shrinking space to roam and their susceptibility to diseases like rabies and canine  distemper threaten the survival of this species. These  dogs are also often hunted by farmers who are trying to protect their livestock. This means that the total number of African wild dogs is in an irreversible decline. Suppose that there are three populations of African wild dogs that we are interested in for a research project: pups, yearlings, and adults.

•    Pups: Represented by the variable  , where  = 1, 2, 3, … denotes the number of years that have passed since the initial measurement of the population. Pups are born from adults or yearlings reproducing. If pups survive, they will grow into  yearlings.  Pups  have  a  fixed  survival  probability   .  Pups  cannot reproduce. Every year all pups are lost because they either  die or become yearlings.

•    Yearlings: Represented by the variable  , yearlings are pups that have grown. If yearlings survive, they will grow into adults. The survival probability of a yearling   is    .   Yearlings   can   reproduce,   originating   pups.   The   fixed reproduction probability of a yearling is  .

•    Adults: Represented by the variable  , adults are yearlings that have grown or adults that have survived another year. The survival probability of an adult is   .  Adults  can  reproduce,  originating  pups.  The  fixed  reproduction probability of an adult is  .

If 0, 0  and 0  represent the populations of pups, yearlings, and adults at the time of the first measurement, the survival of this population after one year ( = 1) is given by:

1  =  0  + 0

1  =  0

1  =  0  + 0

Similarly, the survival of this population after two years is given by

 

2  =  1  + 2  =  1

2  =  1  + 1