Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit


School of Mathematics, Computer Science and Engineering

BSc Mathematics

BSc Mathematics with Finance and Economics

BSc Mathematics and Finance

MA1621: Introduction to Modelling

Stage 1 Examination

 

1.    (a)  Estimate the height of a stack of one trillion of £1d notes.  Would it be

taller than the Big Ben?                                                                            [4Answer: First of all, we need to estimate the thickness of one £1d note. Since it is difficult to do that, let’s estimate the thickness of a stack of notes. A ream of paper (the one usually used for printers, for example) is about 5 cm thick and contains 5dd sheets. Thus the thickness of each sheet of paper is about 5 · 1d_2   m/5dd =  1d_4  m.  This might be an overestimate, as the thickness of a £1d note is smaller than that of a paper sheet, but the OM seems right. Thus the height of a stack of one trillion notes is (a trillion is 1d12 )

height ≈ 1d12  × 1d_4  m = 1d8  m = 1d5  km,

so the order of magnitude is 1d5  km. This is much larger than the height of the Big Ben (96 m, OM 1d_1  km).

(b)  Consider the following scenario: On a Sunday, at 9 p.m., snow starts to fall on the road between two small villages 14 km apart. It snows all the night at the constant rate of 6 cm/h.  The next Monday, at 7 a.m., the local snowplough starts off to clear the road from one village to the other. Exactly when the snowplough begins to move, the snowfall rate changes suddenly from 6 to 45 cm/h, and stays constant at this value for the rest of the day. On a road free of snow, the plough velocity is 9 m/s, but we know that it decreases linearly with increasing snow depth. At a depth of 1./ m the plough gets stuck.

Use the data given in this description to formulate a mathematical model for this problem according to the following steps:

(i)  Make a list of the relevant variables and data in the problem and associate to each one of them a symbol and, where appropriate, the value (with pertinent units).                                                               [3Answer:  The relevant variables are

R%t( ?    the snowfall rate as function of time

d%t( ?    the snow depth as function of time

v%t( ?    the snowplough velocity as function of time

x%t( ?    the distance travelled by the snowplough as function of time

The data are

D = 14 km ?    the length of road to be cleared

v%d = d( = 9 m/s ?    the plough velocity in the absence of snow

ds  = 1./ m ?    the snow depth at which the plough gets stuck

R%t < d( = R1  = 6 cm/h ?    the snowfall rate before 7 a.m.

R%t > d( = R2  = 45 cm/h ?    the snowfall rate after 7 a.m.

(ii)  Write down the general mathematical expressions for the snow depth,

plough velocity and distance travelled as functions of time and find their explicit expressions for the case described in the text. (Choose as initial time [t = d] the time when the plough starts off.)             [3Answer:  The general expressions are

t

d%t( = d0 〉      R2 %s(ds

0

v%t( = a − bd%t(, with a, b > d

t

x%t( =      v%s(ds

0

By choosing the time when the plough starts off as t = d, we find

d%t( = d0 〉R2t,

v%t( = a − bd0 − bR2t,

x%t( = %a − bd0 (t − t2 ,

where d0  is the initial snow depth.

Next, use the model to answer the following questions:

(iii)  What is the snow depth on the road when the plough starts off?  [1Answer:  The initial snow depth can be evaluated from the knowl-

edge that the snowfall rate was R1  = 6 cm/h between 9 p.m. and 7 a.m. of the next day, i.e., for 1d hours:

d0  = %1d h( × %6 · 1d_2 m/h( = d.6 m.

(iv)  What is the initial velocity of the snowplough?                                [1Answer:  The coefficients a and b in the relation v = a − bd can be determined by using the fact that for d = d we have v = 9 m/s and

for d = ds we have v = d. One finds

a = 9 m/s,    b =  s_1  = 6./3 s_1 .

The initial velocity is

v%t = d( = a − bd0  = 5.1/ m/s.

(v)  What distance does the plough travel in half an hour? Answer: The distance travelled in half hour is

[2]

x%1sdd( = s53/ m.

(vi)  How long does it take to the plough to arrive in the next village?  [2Answer: The time T it takes to the plough to travel the distance D

is obtained by solving the equation x%T( = D , which gives T = 463/ s ≈ // min.

(vii)  What is the plough velocity when it arrives in the next village?      [2]

Answer: The velocity when the plough arrives in the village is v%T( = 3.97 m/s.

(viii)  What is the snow depth at the beginning of the road when the plough arrives at the end of the road?                                                          [2Answer:  The snow depth at the beginning of the road when the plough arrives in the next village is given by

R2T = d.1s m.

2.    (a)  Due to poaching, a population of rhinoceros living in a certain area de- clines by 5尸 every year. Initially, the population consists of 1d4  animals. When the population becomes smaller than the critical survival value of 1dd animals, it is at serious risk of extinction.

(i)  Denote by Pn  the size of the population after n years.  Formulate a discrete model describing the time evolution of the population and solve it.                                                                                               [2] Answer:   The difference equation describing the time evolution of the population is

Pn+1 − Pn  = −rPn ,

where r = d.d5. The solution to the above equation is

Pn  = %1 − r(n P0 ,                                 (1)

where P0  is the initial population size.

(ii)  After how many years does the population reach the critical survival value?                                                                                                 [2] Answer:  Solving Eq. (1) for n, we find

1og%Pn /P0 (

1og%1 − r( .

With P0  = 1dddd and Pn  = 1dd, we find

n = 9d.

(b)  Two parents plan to invest part of their salaries to finance the children’s education.   They want to have enough in the account to draw £1ddd a month every month for s years, beginning 4d years from now.  The account pays d.5 interest each month.

(i)  How much money will they need 4d years from now to accomplish the financial objective? Assume they stop paying into the account at the end of the 4d years accumulation period.                                  [4Answer: Suppose that at the beginning of the s years period there is an amount M0 in the account. The amount of money on the account evolves according to the equation

Mn+1 − Mn  = rMn b

where Mn  is the amount of money in the account after n months, r = d.dd5 is the monthly interest rate and b = − 1ddd is the monthly

payment out (expressed in £). Solving the equation we obtain

Mn  = an  ╱M0 −    ,                    (2)

with a = 1 〉r. We must determine M0 such that at the end of the s years period (96 months) the account is empty: MN=96  = d. Setting n = N and solving for M0 we get

b%aN   1(

M0  =

Substituting b = − 1ddd, a = 1.dd5, and N = 96, we find M0  = 76d95.

This is (in £) the amount of money that the parents need to have on the account at the end of the accumulation period.

(ii)  How much must they pay into the account each month during the 4d years accumulation period?                                                              [4Answer:  Now we want to determine what should be the monthly payment into the account to have after 4d years (N = 4/d months) such an amount. Using eq. (2) but solving now for b we find

%1  a(%MN   aN M0 (

1 − aN                   .

Substituting M0  = d, a = 1.dd5, and N = 4/d, we obtain b = 16/.7.

(c)  A regional airport is supported by three major airlines, Alitalia, British Airways, and Lufthansa, each flying out to respective hubs.  We survey the weekly local business travellers and find that 7d尸 of those who trav- elled on Alitalia one week, travelled again on Alitalia the next week, 1d尸 switched to British Airways, and 4d尸 switched to Lufthansa.  Of those who travelled on British Airways, 65尸 travelled again with British Air- ways, 15尸 switched to Alitalia and 4d尸 switched to Lufthansa.  Finally, of those who travelled on Lufthansa, sd remained with Lufthansa, 1d尸 switched to Alitalia and 1d尸 switched to British Airways. These tenden- cies continue week after week and no additional local business travellers enter or leave the system.

(i)  Formulate a system of difference equations to model this problem and write it in matrix form.                                                                 [3]

Answer: Let us denote An /Bn /Cn the number of travellers on Ali- talia, British Airways and Lufthansa in week n. The time evolution is given by

An+1  = d.7dAn d.15Bn d.1dCn

Bn+1  = d.1dAn d.65Bn d.1dCn

Cn+1  = d.4dAn d.4dBn d.sdCn

The system of difference equations can be rewritten in matrix form

as

Zn+1  = MZn ,

where

M =  ╱ 

 d.4d

d.15

d.65

d.4d

 

d.sd   ,

Zn  =  ╱ B(A)n(n)  

(ii)  If the numbers of travellers in week d are 1dd on Alitalia,  15d on

British Airways, and numbers in week 4?

Answer: We have

and

17d on Lufthansa, what will be the respective [2]

Z0  =  ╱  

  17d

Z2  = M2 Z0  =  ╱ 

 d.34d

d.4445

d./575

d.34d

   ╱        ╱  

(iii)  Does the system of difference equations found in part (i) possess a stationary state?  If yes, calculate it.  Is the stationary state unique? Justify your answers.                                                                         [3Answer: In a stationary state Zn does not change with time, Zn+1  = Zn  = Z . Therefore we must look for nontrivial solutions to the equa- tion

Z = MZ.

Nontrivial solutions only occur if aet%M − I( = d.  In our case one finds indeed aet%M − I( = d, therefore there exists a stationary state.   The stationary state is in fact not unique, as the equation %M − I(Z = d has then infinitely many solutions. We find that

Z*  =  ╱  

 d.s1 

is a solution, and any multiple of it is still a solution, for example, A = 9d, B = 74 and C = 164.

 

3.    (a)  While a plant or animal is living, the ratio of the concentrations of the two carbon isotopes 14C and 12C in its tissues is a small constant, the same for all living tissue. When a plant or animal dies, however, this ratio decays exponentially with a half-life τ = 573d years.

(i)  Denote by R%t( the ratio of 14C to 12C as function of time and write down a model describing its decay.  Explain concisely the meaning of the term "half-life".                                                                         [3Answer: The model of exponential decay is given by the equation

dR

= −αR,    α > d.

dt

The relation between α and the half-life τ is

1og 4

.

The "half-life" is the time it takes for the relevant quantity to decrease by a factor of 1/4. We find

α =  = 1.4 · 1d_4 years_1

(ii)  A sample of charcoal was found at the cave of Lascaux in France containing the famous prehistoric painting, for which the ratio of 14C to 12C had decayed to 1/.5尸 of its original value.  How many years ago did the wood grow?                                                                    [3Answer: Since we have that R%t( = R%d(e_αt , we need to solve

d.1/5 = e_αt* ,

which gives

t*  = −  1og%d.1/5( = 15963.

(b)  Sociologists recognise a phenomenon called social diffusion, which is the spreading of information, a technological innovation, or a cultural fad in a population. The members of the population can be divided into two

classes:  those who have the information and those who do not.   In a

population of fixed size N , it is reasonable to assume that the rate of diffusion is proportional to the number of individuals who have the infor- mation times the number of individuals yet to receive it.  If P %t( denotes the number of individuals who have the information at time t, then a mathematical model for social diffusion is given by

dP

= kP %N − P(

(i)  Explain why one should assume k to be positive.                           [2Answer:  Since P > d and P < N , the assumption k < d would imply that the change in the number of individuals that have a certain information is negative, that is, this number decreases with time, which is in fact the opposite to what it is observed, which is the spreading of information.

(ii)  What are the equilibrium solutions?                                                 [2Answer: The equilibrium solutions are P1  = d and P2  = N .

(iii)  Determine whether the equilibrium solutions found in part (i) are sta- ble or unstable.                                                                                  [2] Answer: Let us write the equation as

dP

= f %P(

dt

where f %P( = kP %N − P(. We have f/ %P( = kN − 4kP. Hence, f/ %P1 ( = kN > d and f/ %P2 ( = −kN < d, which implies that P1  is unstable and P2  is stable.

(iv)  Solve the equation and show that it leads to a logistic curve.        [4Answer: To solve the equation we use the method of separation of variables:

dP       

= dt

kP %N − P(

    P0(P)   ╱   dP =   0 t dt

 [1og P − 1og%N − P(]P(P)0   = t

P %N P0 ( = ekNt

P %t( =              N             

 %  − 1(e_kNt .

(iv)  Find the time at which the information spreading is fastest.           [2Answer: The spreading is fastest when |P: | is largest, that is when the right-hand side of the equation reaches its maximum.  This oc- curs when P = N/4. Then we need to solve

N                     N

4  = 1 〉%N/P0 − 1( e_kNt*

which gives

t*  =  1og ╱  − 1

(vi)  How many people will eventually receive the information?             [2]

Answer: Eventually, the information will reach all N individuals:

1im P %t( = N.

t→o