Design of machine components.  Summer time is an excellent opportunity to get active and have some fun in the water.  This assignment is inspired by the design and construction of water bikes. The bike components are made of composite  materials which are a combination of multiple  materials with different  physical and chemical properties. Composite materials have enhanced functionalities and are typically used to optimize strength, weight etc.  Mathematically, the varying properties within the one material as you move from one location in the body to another means that the body density is, in general, a function of x, y and z and not simply a constant.

Image credit: https://www.redballoon.com.au/product/mandurah-water-bike-family-hire---60-minutes/EBB017-M.html

https://manta5.com/; https://blueride.com.au/

https://sydneybykayak.com.au/waterbike-tour-of-lavender-bay/

Question 1

A bike component A of density g(x, y) is to be 3D printed. The mass of A is given by mA! ,

where  and RA is the region defined by

and

such that a > 0.

(a) Sketch the region RA.  In your sketch, identify the coordinates of any points of intersection with the y axes.

(b) Use vertical strips to express !  as a sum of double integrals.  Do not evaluate the integrals.  [To get full marks, you need to show all working including any sketches that support your answer.]

(c) Write down a possible alternative expression for ! , such that !  is expressed as a difference of two double integrals, where each integral is over a region with no hole. [Hint: examine region R relative to the integrand g(x, y).]

Consider a second bike component B of mass mB given by

where the density  and RB is the region bounded by the x -axis,  x = π and the curve  =  #,  ≥ 0.

(d) Sketch the region  $ .

(e) Use the vertical strip method to evaluate $ .  Use Matlab to check your answer.