1 Consider a bivariate regression model:

yi = β0 + β1x1i + ✏i

[10]

(a) Explain first how OLS works in words, and show this diagram-       matically.                                                                               [7]

(b) When running a regression yi  = β0 + β1x1i + ✏i, a colleague       recommends that you use robust standard errors. With the help       of a diagram, explain the issue that robust standard errors help       to prevent.  Does this issue a↵ect the resulting point estimates       of β0 and β1?                                                                         [3]

2 (a) The weight in a country has long been stable,  normally dis-       tributed with mean 67kg and standard deviation 8.1kg.   Last       year, the country allowed fast food restaurants to open chains       in the country. Recently the health ministry in the country con-       ducted a survey, randomly sampling 250 adults and finding an       average weight of 68.4kg. The government is concerned about       this and is considering withdrawing the licences of these fast       food firms due to the increase in weight suggested in the data.       Are they justified in doing so, based solely on the data collected?       Be sure to clearly specify the hypothesis being tested, explain       your answer and use ↵ = .01 as the level of significance for the       test.                                                                                      [8]

(b) The failure rate for an electrical product produced by a company is 7.9%. The company has recently introduced productivity pay for its factory workers, which has markedly increased the out- put of the workers.  The company is worried though about the

downside of this change in payment structure, as during a recent       audit of 105 products, the failure rate was 12.1%. Is this a sta-       tistically significant increase in the failure rate for these goods?       Be sure to clearly specify the hypothesis being tested, explain       your answer and use ↵ = .05 as the level of significance for the       test.                                                                                      [7]

(c) The heads of two school districts are both running to be elected       as regional school director.  The two school districts have very       similar budgets, and pupil intakes. In district 1, the success rate       of the 105 pupils taking a national standardised test is 72%. In       the second district, the 110 pupils had a 62% success rate on       the same test.  The head of district 1 wants to use her pupils’      performance as part of her campaign. Is this a wise move based       on the data?  Be sure to clearly specify the hypothesis being       tested, explain your answer and use ↵ = .05 as the level of sig-       nificance for the test.                                                              [5]

3 We are interested in modelling wages. We write down a regression model for log wages as:

ln(wage)i = xiβ1 + β2educi + ✏i ,

where ln(wage)i is the natural logarithm of wages, x1i is a vector of        exogenous characteristics (including a constant) and educi  is com-        pleted years of education.                                                             [35]

(a) Write down the population moment conditions required for the       consistent estimation of β1 and β2  using OLS.                          [5]

(b) We are concerned that education may be endogenous.  What        does this imply for the moment condition for educi? What does        this imply for the OLS estimates of β1 and β2? Give a clear ex-        ample of why education may be endogenous, and use equations        to detail this.                                                                         [10]

(c) Building on part (b), suppose we have a continuous instrument       for educi.  Call this z2i.  Explain in words and with equations       the two key features a valid instrument will satisfy. Write down       both the population moment conditions, and then the corre-       sponding sample moments, for the instrumental variables (IV)       estimator to consistently estimate the parameters in the model.   [5]

(d) In Figure 1 below, you will find OLS and IV estimates (and        robust standard errors) of β2 - the returns to education from a        random sample of working age males in England and Wales. In        this case, we used a change in the minimum school leaving age        to instrument for education. The estimates for the vector β1 are        not presented for brevity. At first these results may be puzzling,        as we expected the OLS estimate of β2 to be upwards biased, and        we also expected the IV estimates to be a consistent estimate of        the true population parameter, β2. Discuss two di↵erent reasons        why this may be the case, using equations and diagrams as part        of your answer.                                                                       [15]

Figure 1: OLS and IV Estimates - Returns to Education

(1)

OLS

(2)

IV

Education       0.081

(.002)

0.142

(.009)

N                   23, 724       23, 724

4 We are interested in modeling the labour force participation decision for married women. We specify:

yi = 1 yi = 0

if individual i works

if individual i does not work

[20]

(a) If we assume E[✏i|xi] = 0 and estimate the following regression

by OLS:

yi = x β + ✏i

where xi  is a vector of exogenous characteristics, then what are       the econometric problems with this approach?  Name, and dis-       cuss two in detail, including relevant equations.                         [6]

(b) For a continuous regressor xij, write down the partial e↵ect for       the model in part (a), that is when this binary choice model is       estimated by OLS.                                                                  [2]

(c) Now consider a latent variable approach to this binary choice problem:

y = x β + ✏i

7

where

yi = 1 yi = 0

if y > 0

otherwise

Assume ✏i is symmetrically distributed, and let F denote the dis-       tribution function of ✏i. Note that this is a general distribution       function.  You can use f = F0  to denote the density function       of ✏i.  Write the probability that yi  = 1 given xi  in terms of      F. For a continuous regressor xij, write down the partial e↵ect       for this model.  How does the partial e↵ect you calculated here       di↵er from the one calculated in part (b)?                                [4]

(d) Discuss in detail how we can derive the probit model from an       underlying latent variable model given in part (c).  What nor-       malisations do we need to make here, and why do we need to       make these? Answer in detail.                                                 [6]

(e) Below see Figure 2 for output from a probit regression.  You        are given βˆprobit  and x.   Use the values in the table to work        out P[yi  = 1|xi], where you can set all values in xi  to sample        averages.  Be careful regarding the constant in this step.  Next        work out the marginal e↵ects for both education and age.          [11]

(f) Finally assume that we include a new variable cityi, which is a dummy variable that =1 if individual i lives in a city, and =0 otherwise. Let’s say that βˆcity,probit = .1, and that when we in- clude this as an additional explanatory variable, the coefficients on the other variables remain exactly the same as they are in

part (e). Calculate the marginal e↵ect of cityi                                     [6]

Figure 2: Probit Estimates and Variable Means

nwifeinc educ      exper     expersq age

kidslt6

hushrs/1000

Constant

Observations

753