(a)        Out  of the continuous Fourier transform,  the fast Fourier transform,  and the convolution

(b)        Let    y(t )   and    z (t )   be   two   time-domain   signals,   where    z (t ) = rect (t − 12)   and

y (t ) = 1 − t,0 ≤ t ≤ 1

(i)       Calculate the convolution between y (t ) and z (t ) , i.e. w(t ) = y (t )∗ z (t ) . Justify your answers by providing all the details ofyour calculations.

(ii)     Determine if the resulting signal from the cross-correlation between  y(t ) and  z (t )

,i.e. y (t )z (t ) , is the time reflection of w(t ) . Justify your answer without calculation.

Let s(t) = 7sin(2πt ) − 2sin(πt )t − cos(πt2) be a time-domain signal.

(i)       Calculate  its  discrete Fourier  Transform  for  a  time  window  of T=  4/3  second,  a sampling time of Ts= 1/3 second and a number of samples N= 5.

(ii)      Do  the  values  of the parameters  T,  Ts   and N in  the  previous  questions  meet  the

requirements of the Nyquist-Shanon theorem. Justify your answer.

(d)        Let u (t ) = cos(2απt ) , v (t ) = βsinc (βt ) be two time domain signals, where α and  βare two non-negative real parameters. What are the different types of signals that can be obtained when performing the convolution product of u (t ) by v (t ) (based on different values of α and  β)?

Justify your answer.

(e)        Prove that the Fourier Transform of g (t ) = − 1 +  rect (2t + 2n − 12) can be expressed as

n=−∞

G(f ) = δ(f + (2n − 1)) − δ(f − (2n − 1)) , where  δ(.) stands for the delta Dirac

function. Justify your answer by providing all the steps of your derivation.

Q2.

(a)        Explain, in your own words, what the maximum a posteriori (MAP) rule is and how it is useful

(b)        Let   r= [3   10    − 15]T be  a   signal  received  by  a   3x2  MIMO  system.  Knowing  that

 3    − 1

(i)         calculate the value of the detected signal when applying the zero forcing (ZF) detection method. Justify your answer by providing all the details ofyour        calculations;

(ii)         calculate the value ofthe detected signal when applying the minimum mean square

error (MMSE) detection method for a signal-to-noise ratio of 10 dB. Justify your answer by providing all the details of your calculations;

(iii)       calculate the value ofthe detected signal when applying the maximum-likelihood

(ML) detection method. Justify your answers by providing all the details ofyour calculations;

(iv)        discuss the performance ofthese three detection methods, i.e. ZF, MMSE, and ML,

in terms of probability of detection error and computational complexity in the        general case. Which one provides a good trade-off? (in a maximum of 150 words)

(c)         Let us assume that a symbol s, s ∈ {−α,α} is transmitted over a wireless channel, where noise is added to it at the receiver such that r = s + n .

(i)         Assuming that the noise n follows a uniform distribution such that n → ( −β, β) , determine which of the following two settings of the parameters α and β  is the best

in terms of probability of detection error for the symbol s (when assuming a              decision threshold set to 0); setting 1: α = 3 and β= 1 ; setting 2: α = 1/ 3 and β= 1 . Justify your answer by providing all the details of your reasoning.

(ii)        Assuming that the noise n follows a Gaussian distribution with a mean of 0 and a