Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit


DEPARTMENT OF MANAGEMENT SCIENCE

MSCI 222: OPTIMISATION COURSEWORK EXERCISE


The exercise is to be done individually. Late work or evidence of collusion will be penalised in the manner specified in the department's teaching code of practice.

Your answers should clearly state your reasoning and any assumptions you make.

You should define each variable you use in your models and summarise the reason for adding each constraint.

In thefollowing problem, you should replace X by the number between 0 and 99formed by the 3rd and 4th digits of your library card number, Y by the number between 0 and 99 formed by the 5th and 6th digits of your library card number, and Z by the number between 0 and 99formed by the 7th and 8th digits of your library card number. For example, if your library card number is 08123456, then X = 12, Y = 34 and Z = 56.

Part A (50 marks)

Consider the following projects for possible investments. For each project, you are given the revenue at the end of year 4 as well as the cash outflows required during each year (in million pounds) if the project is chosen.

Table 1: Revenues and cash outflows of each project

 

 

Revenue at the end of Year 4

Cash Outflows

Year 1

Year 2

Year 3

Year 4

Project 1

30

12

4

4

0

Project 2

30

0

12

4

4

Project 3

20

3

4

4

4

Project 4

15

10

0

0

0

Project 5

15

0

11

0

0

Project 6

15

0

0

12

0

Project 7

15

0

0

0

13

Project 8

24

8

8

0

0

Project 9

18

0

0

10

4

Project 10

18

0

0

4

10

No partial investment is allowed in any of these projects. The firm has  18 million pounds available for investment each year.

1.  Formulate an integer linear programme that would maximise the sum ofrevenues at the end of year 4 of the projects chosen for investment while satisfying the cash outflow requirements. Solve the problem using a solver and describe what the optimal solution suggests.

2.  After further discussion, you have learnt that every year, money that is not used for any investment can be added to the following year’s investment budget. In addition, the amount remaining for investment at the end of year 4 can be included in the total revenue of the projects chosen for investment. Update your mathematical model and solve using a solver. Compare the optimal solution of this new model and the model solved in the previous question.

3.  You also learned that the money that is not invested for a project is deposited to an account with a return rate of 10% per year and added to the following year’s investment budget with the deposited amount. The amount remaining for investment at the end of year 4 is added to the revenues of the projects at the end of year 4 with its interest return. Update your mathematical model developed in the previous question (2) so that it would include this additional information. Solve using a solver and compare the results ofthe optimal solution of this new model and the model solved in the previous question (2). (10/50)

4.   How can you ensure the following conditions? Add linear constraints to your model satisfying the following conditions (Do not solve the models).

a.   Exactly one of the projects 4, 5, 6, 7 must be invested.

b.   If Project 1 is invested in, then Project 2 cannot be invested.

c.   If Project 3 is invested in, then Project 4 must also be invested in.

d.   If Project 8 is invested in, then either Project 9 or Project 10 or both must also be invested in

e.   If Project 8 is invested in, then either Project 9 or Project 10 but not both must also be invested in

f.   If either Project 1 or Project 2 or both is invested in, then neither Project 9 nor Project 10 can be invested in.

g.   If either Project 1 or Project 2 but not both is invested in, then neither Project 9

 

nor Project 10 can be invested in. Part B (50 marks)

The   islanders   of  Barra   in   the   Outer   Hebrides (population  1174) have pledged to become carbon neutral and decided to give up using natural gas and diesel for heating and electricity production. Barra is not  connected to the national  grid  of the UK and although it will be in the near future, the islanders still want to produce their own electricity and be  self- sufficient.  Thanks  to  the  island’s  unique  location, Barra can benefit from various types of renewable energy options. The representatives of the islanders have spoken to an energy contractor who has quoted how much various types ofrenewable energy will cost per Mega Watt hour (MWh).

The islanders will agree to an initial 20-year contract.

 

 


The contractor will pay the upfront building costs.

Any energy produced will be charged at a fixed rate per MWh for the entire period of the contract. The latest calculations showed that the total energy requirements of the islanders throughout a year is 50,000 MWh. The possible sources of electricity production are:

     Solar cells: Electricity production from solar energy using photovoltaic cells is an option  for  the  islanders.  Its  average  cost  to  them  per  MWh  would  be  £53.  An independent energy consultant suggested the islanders not to produce more than 30% of the energy required with solar because ofthe extremely short days in winter.

     Biomass plant: Electricity production from wood pellets burned in a biomass plant is regarded as another renewable energy option (although several members of the island council think otherwise). This option would cost islanders £52/MWh. However, since

the fuel has to be imported from the mainland, the production from imported wood pellets cannot exceed 20000 MWh per year.

     Onshore and offshore wind farms: Barra has regular strong winds throughout the year. This could help islanders to have a quite good return on investments in onshore and offshore wind generation. Onshore and offshore wind is quoted at £46/MWh and £50/MWh  by  the  contractor.  For  onshore  wind  investments,  it  seems  there  is  a limitation on the amount of energy production. The size of the available area on the island, 20 + (X/100) km2  and onshore wind requires 0.002km2  per MWh electricity production per year.

     Tidal wave generator: Harnessing the low and high tides to produce electricity is another option for the islanders. However, this technology is  still quite expensive compared to other options. The contractor told it would cost £80 + (Y/10) per MWh production every year to invest in tidal wave generation and it cannot provide more than 10% of the total energy need ofthe island.

A further restriction occurs because both the wave and offshore wind power will be situated off the west coast of the island. 38 + (Z/50) square km is available for use. Offshore wind generators require 0.0025 square km per MWh per year and tidal wave generation 0.001 square km per MWh per year.

If the islanders of Barra want to minimise the cost of energy per MWh produced on their island, what should their investment plan be?

1.   Formulate the problem as a linear programme. Solve the L.P. using Excel Solver or LINDO. Paste a copy of the output from the software into your answer and comment on the solution ofthe problem.                                                                      (12/50)

2.   As expected, the tidal wave generator has not been selected by your solution. Use the output files generated by the solver and comment on how much the price per  MWh of electricity produced by using the tidal wave generator should be decreased in order to make it an option that can be considered for investment?                             (2/50)

3.   You have just learned that the cost of solar, onshore and offshore wind power may fluctuate a lot and could depend on some externalities. Use the output files generated by the solver and comment on the range of the solar, onshore and offshore wind power, your solution would still be optimal.                                                             (6/50)

4.   After your initial solution, you have learned, that the cost per MWh provided to you for some options was given as reference values. As the number of onshore wind generators increases, since the generators are started to place locations with less powerful wind, it requires more wind  generators  and  as  a result,  costs more per MWh to produce electricity. The contractor provided you with the following figures in Table 2 for different options and how their cost changes according to the additional area used. As an example, if 12km2 is used for the onshore windfarm, the first 5km2 of it will produce for £46/MWh and the second 5km2 ofit will produce for £47/MWh and the remaining 2km2 of it will produce for £51/MWh to the islanders.

Table 2: Cost of Energy Produced according to Onshore Windfarm’s Land Area

Land Area Used (km2)

Cost per MWh (£)

First 5km2

46

Second 5km2

47

After 10km2

51


How should you update your model in question (1) in order to address this change? Update the linear programme you developed, solve using one of the solvers, provide the solution and comment on the differences you observe compared to question (1)’s solution.

5.   Opposite to onshore windfarm, for the solar cells, the electricity production cost gets cheaper with the increased capacity since the contractor can have a better deal with the solar cell manufacturers. The contractor provided you with the figures inTable 3 for different options and how the cost changes according to MWh produced per year. As an example, if solar cells have a capacity of 11000MWh/year, the first 7000MWh/year will cost £53/MWh, the remaining 4000MWh/year will cost £49/MWh to the islanders.

Table 3: Cost of Energy Produced by Solar Cells according to their yearly energy production

Range of Energy Produced

Cost per MWh (£)

First 7000MWh/year

53

After first 7000MWh/year

49

How should you update your model in question (4) in order to address this change? Update the linear programme you developed, solve using one of the solvers, provide the solution and comment on the differences you observe compared to question (4)’s solution. (Hint: This problem requires a modelling approach slightly different from the previous question. Your model should make sure that the options are used in order. The

model should not use the cheaper option before the expensive ones.)

6.   After the model developed in part 5, the contractor also told you there are two available sizes possible for the biomass plant and  as the  size increases, the cost of energy production per MWh decreases too. These two sizes, their electricity production range and cost are provided in Table 4. As an example, if the total energy production of biomass plant is 9000MWh per year, the contractor will build a biomass plant size 1 and it would cost the islanders £52/MWh; whereas if the plant produces 110000MWh

per year, the contractor will build a biomass plant size 2 and it would cost the islanders £48/MWh.

Table 4: Cost of energy produced and the yearly production rangefor different sizes of biomass plants

Biomass Plant Size

Production Range (MWh/year)

Cost per MWh (£)

1

0- 10000

52

2

10000-20000

48

How should you update your model in order to address this change? Update the linear programme you developed, solve using one of the solvers, provide the solution and comment on the differences you observe compared to question (5)’s solution.