where βj  and bj  are the jth  element of β and b respectively, appropriate selection vector.

and cj= [0, 0,..., 1, 0,...] is the (1 mark)

(c) Consider the regression model yi  = β0 +β1x1i+β2x2i+εi where E (εi) = 0 and E (ε) = σ2 for each i, and E (εiεj)  =  0 for all i j.   Let 1  be the estimator obtained when x2i  is omitted from the equation. The bias in 1  is negative if β2  < 0 and x1i and x2i are negatively correlated. (1 mark)

(d)   The following assumptions are required for parameter estimation of the model yi   = α + βxi + εi, i = 1, 2,...,n, by ordinary least squares: E(εi) = 0; Var(εi) = σ2; E(εiεj) = 0 for i j;εi  ∼ N(0,σ2).                                                                                                     (1 mark)

(e) Consider the regression models:  Model 1:  yi   =  β1  + β2x2i  + εi , and Model 2:  yi   = α1 + α2x2i + α3x3i + εi, i = 1,...,n, where E (εi) = 0, E (ε) = σ2 for each i, and E (εiεj) = 0

for all i j. Model 2 must have an R2  at least as high as that of Model 1.                 (1 mark)

3. Consider the simple linear regression model

yi  = α + βxi + εi,  i = 1, 2,...,n,

where E (εi) = 0 and E (ε) = σ2 for each i, and E (εiεj) = 0 for all i j .

(a) Instead of the usual least squares estimator you would like to consider the estimator = . Investigate whether this estimator is unbiased and derive its variance.   (3 marks) (b) Show that the estimator is less efficient than the least squares estimator.      (3 marks)

4. Consider the equation

salesi  = β1 + β2pricei + β3adverti + β4advert + εi,  i = 1, 2,...,n,

where the disturbances are normally distributed with E (εi) = 0 and E (ε) = σ2  for each i, and E (εiεj) = 0 for all i j. Describe how you would construct an F- test of the hypothesis H0   : β3  + 3.8β4  = 1 against the alternative H1   : β3  + 3.8β4 1, using the restricted and unrestricted model formulation without the use of any matrix notation (both the restricted and unrestricted regressions need to be clearly specified) and indicate the reference distribution of your test statistic.                                                                                                (6 marks)

5.  Consider a nonlinear growth model, yt   = β1  + β2 exp( −β3t) + εt , t =  1,...,n, where βk , k = 1,..., 3, are unknown parameters of interest, and εt  is a random disturbance with zero mean and constant variance.  Suppose one wants to use the nonlinear least squares method to estimate the parameters, βk , k = 1,..., 3. Write down the objective function of the nonlinear least squares method and derive the first order conditions.                     (6 marks)

6. Consider a dynamic regression model, yt  = β1 + β2xt + β3yt − 1 + εt , t = 1,...,n, where xt  is an explanatory variable whose values are fixed, yt − 1  is the value of yt  lagged by 1 time period, and εt  is a random disturbance with zero mean and constant variance.  Com- ment on the properties of the OLS estimator of β =  (β1,β2,β3) when there is autocor- relation in εt.  Suggest a potential remedial measure for autocorrelation in such a model. (Word limit: 100 words)                                                                                          (6 marks)

7.  Consider the linear model yi  = β1 + β2xi + εi , i = 1,...,n, where xi  is an explanatory variable whose values are fixed, εi is a random disturbance satisfying E(εi) = 0 and E(ε) = σ2v, where σ2  is a parameter whose value is unknown and vi  is a variable with known non- constant values. Describe the properties of the OLS estimator of β = (β1,β2) for this model and explain how you can obtain an improved estimator of β via the weighted least squares method. (Word limit: 100 words)                                                                          (6 marks)

Section B

8. (a) Consider the model

ln(wagei) = β1 + δ1femalei + β2educi + δ2femalei  × educi + ui                        (8.1)

where i = 1, 2,...,n that includes a dummy variable for gender such that femalei  = 1 if the

person is a female, 0 if the person is a male. The variable educ is the years of education. Model (8.1) was estimated providing the following results:

ln(wagei)   =   1.739 − 0.3319 femalei + 0.0539 educi − 0.0027 femalei  × educi + i

RSS   =   393       R2  = 0.243      n = 2000

Describe fully how you would test whether the equation for wage determination is the same

for men and women at the 1% significance level.                                                   (10 marks) (b) Consider next the alternative model of wage determination

ln(wagei)   =   β1 + δ1femalei + θ1mediumi + θ2largei

+ϕ1femalei  × mediumi + ϕ2femalei  × largei + β2educi + ui         (8.2)

that includes two dummy variables medium and large, defined as mediumi  = 1 if the firm has 50 to 199 workers, 0 otherwise, largei  = 1 if the firm has more than 199 workers, 0 otherwise. The reference category corresponds to small firms with up to 49 workers. The dummy variable for gender and the variable educ are defined the same as in (a).

Model (8.2) was estimated providing the following results:

ln(wagei)

RSS

=   1.624 − 0.262 femalei + 0.361mediumi + 0.179largei

−0.159femalei  × mediumi −0.043 femalei  × largei + 0.0497educi + i (0.050)                                                    (0.051)                                                 (0.0024)

=   359       R2  = 0.308      n = 2000

Describe fully how you would test whether small firms discriminate against women in terms of pay more or less than larger firms.                                                                     (10 marks)

9. A researcher considers the model, yi  = β1 + β2x + β4x3i + εi, for household expenditure data taken from a US survey, where y denotes the fraction of total consumption expenditure spent on food, x2 denotes total consumption expenditure (measured in $10,000) in a house- hold, and x3  denotes household size.  Panel 9.1 below shows some estimation results she obtains for this model.

(a) Assuming that the classical assumptions about disturbances (i.e., zero mean, constant variance, and no correlation) are satisfied, use relevant results in Panel 9.1 to test the null hypothesis H0  :  β3  = 1/2 using a 5% significance level. Also construct a 95% confidence interval for β3.                                                                                                          (6 marks)

(b) Describe how the researcher may carry out an LM test of the hypothesis H0  :  β3  = 1/2 using the nR2 form. (Word limit: 150 words)                                                          (7 marks)

(c) Suppose that, after conducting the above tests, the researcher decides to use the model, yi  = β1  + β2x + β4x3i  + εi, for the household expenditure data.  But she suspects that the disturbance variance is non-constant and it depends on the household size x3.   De- scribe how she may carry out a Breusch-Pagan test of heteroskedasticity in this case. (Word limit: 150 words)                                                                                          (7 marks)