Section A

1.  Each part of the following is either a true or false statement. If you think Part n is True, your answer should be: ”(n) T” and if you think it is false, ”(n) F”.

Consider the linear model with k regressors, including a constant

y = x/3 + e,

where it is known that plim x/ e 0 (n denotes sample size). Suppose the columns of the matrix Z contain m > k instruments, including a constant, such that

plim Z/ e = 0, plim Z/ x = QZx , a matrix of rank k, and plimZ/ Z = QZZ , a matrix of   rank m. Let x' and y' denote the fitted values from regressing the columns of x and y respectively on Z. Which of the following will give consistent estimates of 3 ?

(a)  (xˆ/ xˆ )-1 xˆ/ y.  (1 mark)

(b)  (x/ xˆ )-1 x/ .  (1 mark)

(c)  (x/ x)-1 x/ y.  (1 mark)

(d)  (Z/ x)-1 Z/ y.  (1 mark)

(e)  (Z/ x)-1 x/ y.  (1 mark)

2.  Each part of the following is either a true or false statement. If you think Part n is True, your answer should be: ”(n) T” and if you think it is false, ”(n) F”.

A researcher estimates the following dynamic regression using annual data, where yt is the log demand for a certain good and xt  is its log price, which we take to be          exogenous.

yt     =     117.7     +   0.373yt-1     -   0.156xt     -   0.062xt-1     +   et . (50.284)           (0.177)           (0.019)           (0.029)

n   =       46

(Standard errors in parentheses.)

(a) A t-test that the variable xt  should be omitted from the regression would be

rejected at the 5% level.  (1 mark)

(b)  If xt were to fall by one unit we would expect yt to fall by 0.156. (1 mark)

(c) A small coefficient for yt-1  means that it takes longer for the system to adjust to a new equilibrium value.  (1 mark)

(d) The estimated long run elasticity of demand is approximately 0.218.  (1 mark)

(e) OLS estimates of this regression are inconsistent if the disturbance term is a first

order moving average process.  (1 mark)

3.  Suppose we are trying to estimate the linear relationship yi  = x 3i(/) + σ"i , where      "i  ~ N (0, 1). Our sample has been truncated from below, so that it contains only    individuals who report a positive value for the dependent variable, yi  > 0. Explain, using diagrams or otherwise, why ordinary least squares estimates of 3 will not be consistent. Outline a method that would produce consistent results.  (6 marks)

4.  In order to begin to model a quarterly univariate time series, the sample            autocorrelation function (SACF) and the sample partial autocorrelation function (SPACF) are calculated. The following results are obtained.

Lag   SACF   SPACF

1   0.832    0.832

2   0.694    -0.066

3   0.519    -0.019

4   0.372    -0.083

5   0.236    0.017

6   0.176    -0.134

7   0.112    -0.104

8   0.095    -0.030

Briefly explain how the sample partial autocorrelation function (SPACF) is calculated and discuss what type of time series process would fit the table.  (6 marks)

5. A researcher is interested in the relationship between the elements of an m × 1 vector, Yt , using the equivalent expressions

Yt     =   a + o1Yt-1 + o2Yt-2 + ∈t ,

∆Yt     =   Ⅱ(Yt-1 - u) + r1 ∆Yt-1 + ∈t , t = 3, . . . , n,

where ∆Yt  = Yt - Yt-1  and ∈t  ~ IID(0, o). Show how the parameters u, Ⅱ and r1 relate to the parameters a, o1  and o2 .  (6 marks)

6.  Define what it means for a time series process, yt , to be stationary. Under what           conditions is an autoregressive moving average (ARMA) process stationary? Show    that the following ARMA (2,1) process is stationary: yt  = yt-1 - 0.21yt-2 + εt + 0.7εt-1 , t e (-o, +o) where εt  is a white noise process with variance σ2 .  (6 marks)

7.  Suppose that an econometrician is interested in the relationship between two            variables, y1t  and y2t  using a sample t = 1, . . . , n. They want to estimate the following simultaneous regressions model

y1t     =   γ12y2t + β1 z1t + "1t ,

y2t     =   γ21y1t + β2 z2t + "2t ,

where z1t  and z2t  are exogenous explanatory variables, γ12 , γ21 0 and ∈ = ("1t, "2t)/    contains unobserved disturbances with E(∈) = 0, Var(∈) = o. Explain why ordinary   least squares estimates of Equation (1) and Equation (2) will not be consistent.          Propose a method to obtain consistent estimates of γ12  and β1  in Equation (1), taking care to state any conditions and assumptions required.  (6 marks)

Section B

8.  Consider the time series process

yt  = α + φyt-1 + εt ,

where |φ| < 1 and εt follows an ARCH(1) process with εt |Yt-1 ~ N (0, σt(2)), where Yt-1 = [yt-1 , yt-2 , . . .} denotes the past history of the process and

σt(2)  = α0 + α 1 εt(2)-1 ,

with α0  > 0 and α 1  > 0.

(a)  Using the fact that we may write εt  = ηt σt , where ηt  ~ N (0, 1) is a sequence of independent standard normal variables, show that εt  is a white noise process with mean zero and (unconditional) variance α0 /(1 - α 1 ) as long as εt  is          stationary.  (7 marks)

(b)  Show that εt(2) follows an AR(1) process. Hence or otherwise discuss the

conditions under which εt  is stationary.  (7 marks)

(c)  Suppose the parameters α, φ, α0 , α 1  are known. Write down the one-step ahead forecast, yˆn+1  = E [yn+1|yn , yn-1 , . . .]. Derive the variance of the forecast error.  (6 marks)

9.  Consider the salary data of a sample of 258 male bank employees. The dependent  variable MANAGERIAL takes the value 1 if worker i is in a managerial role, and 0     otherwise. The regressors EDUC measures the number of completed years of          education, MINORITY is a dummy taking the value 1 if the employee is a member of

an ethnic minority and PREVEXP measures previous work experience, in months. A researcher employs a logit model, P (yi  = 1) = Λ(x 3), wherei(/) xi  contains the             regressors for worker i and Λ(t) = the logistic function.

(a) As a first attempt, the researcher estimates the following model.

Table 9.1. Dependent Variable: MANAGERIAL

Method: ML - Binary Logit

Variable        Coefficient     std error         Prob.

Mean dependent var     0.286822   Akaike info criterion

Log likelihood               -63.39219   Avg. log likelihood

0.522420

-0.245706

Comment briefly on the signs and significance of the coefficients in this model. Are they in line with your expectations? (4 marks)

(b) The researcher re-estimates the model, omitting the variable PREVEXP.

Table 9.2. Dependent Variable: MANAGERIAL

Method: ML - Binary Logit

Variable        Coefficient     std error         Prob.

Mean dependent var     0.286822   Akaike info criterion

Log likelihood               -64.15011   Avg. log likelihood

0.520543

-0.248644

Using all relevant information from the tables, discuss which of the two models    you prefer. Use the second model to estimate the probability that a male              employee not from an ethinic minority with 15 years of education is in a                managerial position. What might explain the increase in the estimated coefficient MINORITY when the variable PREVEXP is excluded from the regression?

(10 marks)

(c) According to the regression in part 9b, the probability that a male employee has a management job depends on his time in education. Explain carefully why that probability does not increase by 1.645 for every additional year of education.     Calculate an estimate of the marginal effect of an extra year of education for an ethnic minority male with 17 years of education. (6 marks)