Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit 



ECOM155 Asset Pricing, Trading and Portfolio Construction



Question 1

a) How are bonds with various maturities related to each other? State the two hypotheses that govern this relationship. What do these hypotheses predict about interest rate changes in an economy?

– Draw a yield curve, explain how an n - 1 maturity bond is related to an n maturity bond.

– State the pure expectations hypothesis (PEH) and the expectations hypothesis (EH), in words.

– When the short-term interest rate changes because the monetary authority changes it,  the changes in the yield curve are governed by the EH and the PEH. Explain that the yield curve can either (a) change intercept (b) change slope or (c) both the intercept and the slope can change.

b) How can you test these hypotheses empirically? Write in words how you can interpret the coefficients in these regressions.  Do these hypotheses work, i.e., do they explain the data well?  If yes, why?  If no, why not?

– Write down the PEH and the EH in regression equation form.  See, lecture titled “Explaining Bond Returns” from Semester A.

– An unconditional look at the EH using Cochrane (2005) suggests that there is supportive evi- dence for the EH.

– However, when you ask a more subtle question whether there are times when long-term bonds are forecast to do better, and other instances when short-term bonds are expected to do better, then, the regression you writed down ((n - 1)(yn1,t+1 - ynt) = α + βsnt + ut+1) should have a β = 1 if EH holds.

– Campbell and Shiller (1991) find that they don’t hold. And that often, the β is either 0 or well over 1.

– Students can either specify this version of the regression, or the “alternative specification”, either will be considered a valid answer to this question.

c)  The term structure of interest rates in the economy is given by the following schedule:

Maturity    Rate (per annum) 

1                        0.72%

2                        0.81%

3                        1.02%

4                        1.23%

i. What is the price of a 戈100, 4-year, 5% coupon bond?

ii. What is the yield to maturity of a 戈100, 2-year, 10% coupon bond?

– Discount the cash flows in the four years, i.e., 戈5 coupon and 戈100 par value using the set of yields above to obtain a present value of 戈114.72.

First we compute the price of the two year bond, i.e. 10/(1+0.72%)+110/(1+0.81%)2 = 118.17. Then we obtain the yield by solving 118.17 = 10/(1 + YTM) + 110/(1 + YTM)2 for YTM. This results in 0.81%.  The solution entails solving the quadratic equation either by completing the square or applying a known solution formula.

 

Question 2

Consider the Hasbrouck vector autoregression:

╱x(r)t(t)  = ╱0(b0)  xt + ┌ c(a)

d(b) ┐ ╱ x(r)t(t)一(一)1(1)  + ╱υ(υ)2(1)t(t)  

Here, rt  is the stock return estimated as the movement in the quote midpoint between trade times t and t - 1, and xt  is measured order flow.    For example, if at time t = 2, a $30, 000 trade came in and was classified as a sell trade, x2 = -30, 000.  Note that t is measured in trading time rather than calendar time units, i.e., indexing times at which trades occur.

a)  The system of equations is a single-lag vector autoregression.  How are the two regressions related to each other? Why are they modelled together? Should you include additional lags of both returns and order flow? If so, why?

– The dependent variable in each of the equations are also explanatory variables in the other equation. This makes them a system of equations, where one affects the other.

– A single-lag vector autoregression (VAR) in this model may not be a sensible modelling choice. For returns rt, lags may be extended beyond one in cases of momentum or short-run reversal experiences in the stock.  Traders often tend to split trades into different orders to minimise (maximise) the weighted-average price of buy (sell) trades. Since t is measured in trading time, trades xt  may also be auto-regressive beyond one lag.  Therefore, including more lags may be necessary for trades xt  and returns rt .

b) Hasbrouck estimates this VAR, and then computes an impulse response function of returns to order flow shocks.  Compute the impulse response for period 1 and period 2 and period 3 when a $1 hits the system. Present an expression in terms of the coefficients given in equation (1) above.

– The Hasbrouck VAR is equivalent to the following system of equations:

rt     =   b0 + art1 + bxt1 + v1t

xt     =   crt1 + dxt1 + v2t .

If only an order flow shock of $1 hits the economy at time t = 0:

r0 =   v1,0 = x0 = 0   v2,0 = 1.

Assuming that no other shocks hit the economy in the following periods, at period t = 1:

r1 =   b0 + ar0 + bx0     = b0 + b

x1 =       cr0 + dx0          = d,

and at period t = 2:

r2 =   b0 + ar1 + bx1     = b0 + a(b0 + b) + bd

x2 =       cr1 + dx1          = c(b0 + b) + d2 .

The return impulse-response two periods after the shock hits is:

r2 = (1 + a)b0 + (a + d)b.

– And so on...  (Substitute for t = 3 to obtain r3 ).

c) Why does the impulse response matter? What does it explain about the relationship between order- flow and stock returns?

– In the Hasbrouck VAR model, the innovations v2t  in the order flow equation are unpredictable and capture the unanticipated component of a trade.  This order flow shock could be due to liquidity requirements or a private information-based trade.

A researcher can use the Hasbrouck VAR model to discriminate between these two hypotheses by simulating an unexpected shock to the order flow equation and then looking at the associated cumulated response of stock returns over time.

If the cumulative returns response to an unpredictable trade innovation does not die out, the shock is permanent  and the researcher concludes that the order flow contains fundamental information relevant for pricing stocks (“permanent” price impact).

If the cumulative returns response to an unpredictable flow innovation dies out, the shock is transitory and the researcher concludes against the presence of private information (“temporary” price impact).

Hasbrouck VAR model, therefore, is very useful to study the nature of information in the market.

 

Question 3

Campbell (1991) decomposes the variation in stock returns into revisions in expectations of dividend growth and revisions in expectations of future returns:

&

ρj∆dt+1+j  - (Et+1 - Et)

j=1

a) Explain each term of this equation, in terms of the economic insights underpinning it.

– The term (Et+1  - Et)     ρj ∆dt+1+j  represents new information or  “news” about change in the future dividend stream of the stock.  The term (Et+1  - Et)     ρj rt+1+j  represents the “discount rate news” or the change in the agent’s discount rate.

– For a stellar answer: Explain why discount rates are important for asset pricing.  Explain why cash flow news is different from discount rate news.

b) How is this decomposition related to excess volatility puzzle?   Would this decomposition work if returns cannot be forecasted?

– Both these  questions  are  covered  in  detail  in the  lecture titled  “Present Value  Models”  in Semester A  (Week  7),  and the formal link between excess volatility,  predictability and the Campbell-Shiller decomposition is in the lecture titled  “Campbell-Shiller Decomposition” in Semester A (Week 7).

– This is 50% of the grade for this question, so I expect a detailed answer that does not merely use equations,  but explain the relationship between predictability,  excess volatility,  and the Campbell-Shiller decomposition.

c) Explain the difference between in-sample and out-of-sample forecasting of stock returns.  What are the pitfalls of coming to conclusions merely using in-sample forecasts?

– To investigate the strength of a predictive regression, in-sample (IS) and out-of-sample (OOS) forecasts are used. Suppose we fit a model using all data available (1 to T), IS forecasts predicts returns within the sample, i.e., for 1 to T. However, OOS forecasts attempts to predict returns for periods outside of the sample used to estimate the model, i.e., from T + 1 onwards.   IS forecasts have the benefit of looking ahead while predicting, whereas OOS is a more stringent test of the model’s ability to predict stock returns as it is immune to the “look-ahead” bias while validating predictive models.

Goyal and Welch (2008) systematically investigate the OOS performance of predictive regressions across all popular variables in the literature. Most of the popular valuation variables (Dividend Price ratio, Dividend Yield, Earnings Price Ratio) do not perform well. However, equity share of the total equity and debt issue by a firm does indeed perform better. They claim that there are no variables that are meaningful from the perspective of a real world investor.

However, Campbell and Thompson  (2008) show that OOS forecasting does indeed have sig- nificant forecasting power when sensible theoretical restrictions on the signs of coefficients and return forecasts are imposed.   They also show that the predictive power may be small, but economically meaningful and significant.

– The main pitfall: A model can be very good in-sample simply because the researcher can overfit the observed data. This makes it inflexible to new incoming data, and hence may deliver a really poor out of sample fit. Therefore, relying only on in-sample forecasts to determine the strength of the predictor can lead to very large erroneous investment decisions.


Question 4

Consider the following simple model for stock prices:

Pt     =   Pt* + It 2

It     IID     


Here, Pt*  is the fundamental value of the security, and s is the bid-ask spread.

a) Assume that Pt* = P*  is fixed through time. Derive the variance for successive stock price changes.

The moments of the order-type indicator variable It  are:

E(It) =  * 1 +  * (-1) = 0

Var(It) = E(It(2)) =  (1)2 +  (-1)2 = 1

Assuming Pt* = P* , price changes ∆Pt  are given by:

∆Pt =Pt - Pt1 = Pt* + It 2 - Pt一(*)1 - It1 2

s

╱   `                   2

0

 


Thus,

∆Pt = (It - It1 )

The moments of stock returns are:

s         s2                                                                    s2              s2

Var(∆Pt) = Var[(It - It1 ) 2 ] =  4 [Var(It) + Var(It1 )] =  4 2 =  2 Cov(∆Pt1 , ∆Pt) = Cov ← (It - It1 )  , (It1 - It2 ) 

 [E(It┐It 1)` - E(It┐It 2)` + E(It┐(一)│(1)It2)` - E(I┐2t1)`] = - 

0                         0                           0                          1

Cov(∆Pt1 , ∆Pt)      -           1

Var(∆Pt)       =      = - 2

b) Now assume Pt*  is serially uncorrelated, and independent of It, and has increments with variance expressed as σ2 (∆P* ). Derive a new expression for the variance.

Now let the fundamental value Pt*  change through time, but assume that its increments are serially uncorrelated and independent of It. The moments of stock returns are:

Var(∆Pt) = Var[∆Pt* + (It - It1 ) 2 ] = Var[∆Pt*] + Var[(It - It1 ) 2 ]

= σ 2 (∆P* ) + 

2

4

Cov(Pt1 , Pt)                 s2 /4         

Var(∆Pt)              s2 /2 + σ2 (∆P* ) .


where σ2 (∆P* ) is the variance of ∆P* .

c) Now, compute the autocorrelation of successive stock price changes under both scenarios in (a) and (b) above. What is this effect known as?

This effect is known as 字ád←)g& #〉aη|e and leads to erroneous conclusions about weak-form efficiency in stock prices. If stock prices are weak-form efficient, there will be no autocorrelation in returns.

Answers (a) and (b) indicate that a test for weak-form efficiency will conclude the presence of negative serial correlation between lagged returns and returns of a stock, thus rejecting weak-form efficiency, even if the fundamental value of the stock is unchanged or serially uncorrelated (prices are weak-form efficient).

This occurs because of the trading process where random buys and sells arrive at the market and cause prices to bounce back and forth between ask and bid prices, creating spurious correlation in returns.


Question 5

a)  Consider a simple economic factor model:

rit = αi + βiFt + cit                                                                              Suppose that the estimation produced αi  = -2 and βi  = 1.4.  The portfolio manageer has a bench- mark whose return is denoted as rB .

i) What is the benchmark α when the benchmarket return is the factor premium? Explain why.

ii)  Suppose F  =  rB ,  and the estimated βi  decreases from  1.4 to 0.8 when you reestimate the relationship with new data, and αi  is now 0.4. What has changed about stock i?

iii) As an investment manager, how would this change affect your decision to invest in this stock?

If the benchmark return equals factor premium we must have that beta is one.  Therefore, alpha is zero. Essentially, the return on the benchmark is spanned by the return on the factor. Hence, there is no uncaptured return that would manifest in the alpha.

The stock i now weakly covaries with the factor, i.e. the benchmark. This is reflected in the decreased beta.  Actually, now the return varies weakly than the return on the benchmark itself since beta is lower than one.  Furthermore, since the factor describes a smaller fraction of the returns the alpha increases!


The stock is now weakly correlated with the benchmark. If this is in-line with your investment goal you would prefer this stock.  If you are interested in a stock that is strongly correlated with the benchmark then the stock has become more unattractive.

b) What is the difference between an economic factor and a fundamental factor?   Explain with two examples for each of these types of factor.

In economic factor models the factors themselves are known, while in fundamental factor models the factor is unknown but the loading on the factor is known.  Typical economic factors are GDP or consumer sentiment.  These series only exist once for the whole economy.  In contrast, fundamental factor models rely on data that is specific to the stock. This could e.g. be the firm size or its book-to- market ratio. In the economic factor model loadings have to be estimated from time series regression. In the fundamental factor models the factor itself has to be estimated from cross-sectional regressions. If we are interested in whether a factor is priced we can employ Fama-MacBeth regressions. Explain the Fama-MacBeth regression briefly.

c) Fama and French (1996) estimate the factor loadings on the market portfolio,  “Small minus Big” (SMB) and “High minus Low” (HML) factors.  What do they find?  Asset Pricing Theory seeks to find a factor model with an alpha that is not statistically significantly different from zero. Portfolio managers seek a factor model that generates positive alpha.  In light of Fama and French (1996), discuss.

The SMB and HML factors are constructed as factor-mimicking portfolios. The size factor (SMB) is constructed by going long a portfolio of value-weighted small stocks and shorting a value-weighted portfolio of large stocks. Small stocks are distinguished from large stocks by reference to the median market capitalization. The value factor (HML) is constructed by going long a value-weighted portfolio of value stocks (B/M ratio higher than 70th percentile) and shorting a value-weighted portfolio of growth stocks (B/M ratio smaller than 30th percentile).

SMB is motivated by the fact that small stocks tend to out-perform large stocks suggesting that firm size proxies for a risk that is related to firm size. This could have to do with aggregate firm complexity, efficiency, economies of scale etc. HML is motivated by the fact that value firms tend to out-perform growth firms.   This effect seems to suggest that there is systematic valuation difference between more established value firms compared to growth firms. Both SMB and HML are constructed using fundamental information that is specific to each firm.  However, through the construction of factor- mimicking portfolios, SMB and HML are effectively treated as economic factors in factor models such as Fama-MacBeth regressions.

In Fama and French (1996), they find that SMB, HML and the market portfolio explain the cross- sectional variation in stock returns.  Importantly, they find that the alpha is not statistically signif- icant, suggesting that there is no money left on the table once you account for the risks captured by SMB, HML and market returns. While the cross-sectional relationship between market beta and returns are flat, SMB and HML capture the variation very strongly.

If portfolio managers find factor investing approaches that capture other types of risk not captured by SMB, HML or the market portfolio, then we can say that they can generate positive alpha. If not, they are simply rediscovering what can be obtained using a passive investment strategy using HML and SMB.