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Lineare Algebra I – Übungsblatt 03

Wintersemester 2024/25

Aufgabe 1.

Seien G, H Gruppen und f : G → H ein Gruppenhomomorphismus.

1. Nehmen Sie an, f ist ein Monomorphismus und H abelsch. Beweisen Sie, dass G abelsch ist.

2. Nehmen Sie an, f ist ein Epimorphismus und G abelsch. Beweisen Sie, dass H abelsch ist.

Aufgabe 2.

Sei G eine Gruppe.

1. Erinnern wir uns daran, das Produkt G × G trägt eine induzierte Gruppenstruktur: (g, h)(g ′ , h′ ) = (gg′ , hh′ ). Beweisen Sie, dass · : G × G → G ein Gruppenhomomomor-phismus ist genau dann, wenn G abelsch ist.

2. Nehmen Sie an, dass für jedes g ∈ G, g 2 = e gilt. Beweisen Sie, dass G abelsch ist.

Aufgabe 3.

Sei G eine endliche Gruppe der Ordnung n. Beweisen Sie, dass G isomorph zu einer Unter-gruppe der symmetrischen Gruppe Sn ist.

Aufgabe 4.

Sei G eine Gruppe. Erinnern wir uns daran, dass eine Untergruppe H < G normal heißt, wenn ∀g ∈ G, gH = Hg.

Nehmen Sie an, dass H eine Untergruppe von G ist, so dass G/H zwei Elemente hat. Beweisen Sie, dass H normal ist.