EXAM CODE: EFIM-10008J

MATHEMATICAL AND STATISTICAL METHODS

SECTION A – Multiple choice

There are 10 questions in this section. Answer ALL questions in this section. Each

question in this section is worth 2 marks. Incorrect answers will be awarded 0 marks.

Select only one answer for each question.

For questions 1 to 4 use the following information:

Neon, a Bristol-based car company, is considering introducing a sports car model in their 2020 line and is doing some market research on the Bristol population.

Q1 It is costly to interview every person living in the city, so Neon decides instead to

interview a representative sample of 100 Bristolians. They take their sample by     randomly selecting 100 individuals from a list of all Bristol residents. What can we say about this sample?

a)  The racial and ethnic mix of the sample will exactly match that of the population

b)  The sample is not large enough

c)  The expected value for the height of the 1st person in the sample is equal to the mean height of the Bristol population

d)  The sample is not representative of the Bristol population

e)  None of the above

Q2 Based on their study, Neon finds that if you pick a Bristolian at random, the

probability that they own a car () is () = 0.5. They also find that the probability    that a random Bristolian does not own a car () AND is interested in buying a         sports car () is 0. 12. Which of the following is true regarding the Bristol population?

a) (|) = 0.76

b)   If we know that a resident is looking to buy a sports car, the probability that this resident currently owns a car is 0.5

c)  The outcomes “own a car” and “interested in buying” are mutually exclusive

d)   If we know that a resident does not own a car, the probability that this resident is looking to buy a sports car is 0.24

e)  None of the above

Q3 Neon obtains a random sample of 100 individuals, satisfying the i.i.d. conditions.

They would like to test their null hypothesis that the average person has pounds in savings, where is a given value. They know that the variance of savings in the        underlying population is 2  = 3600 . The mean value for savings in their sample is = 800 pounds. For what value for would they reject their null hypothesis?

a) = 815

b) = 782

c) = 715

d)  All of the above

e)  None of the above

Q8 Malindi is a university student and is planning her next steps. She is looking to decide

how much to borrow today knowing that she will have to pay back whatever she       borrows after she graduates.  She has no income today, but is expecting to earn an income of after she graduates. She solves the following problem

max ( − )

≥0

Where is how much she borrows as a student. What is the solution to Malindi’s problem?

a) ∗  =

b) ∗  =

c) ∗  = 0

d) ∗  = 0

e)  None of the above

Q9 Adam chooses his level of consumption of pizza based on the following implicit

equation:

1 + () = 2  + 2

Where are the number of pizza slices, is the price of a pizza slice, and (⋅) is a given differentiable function. How would Adam’s consumption of pizza, , change   after an infinitesimal increase in price, ?

a)    2 + 2

b)

c)    1 +

d)    0

e)    None of the above

Q10 An individual chooses their consumption of food, , and housing, ℎ , to maximizes

utility, (, ℎ) , subject to a budget constraint, + ℎℎ = . Where and ℎ  are the prices of food and housing respectively and > 0 is their budget. If utility is     strictly increasing with and ℎ which of the following must be true?

(a)  There is no solution to the individual’s maximisation problem

(b)  The shadow price must be positive, > 0

(c)   If the consumer’s budget increases by , the consumer’s budget constraint loosens by

(d)   If the consumer’s budget increases by , the consumer’s utility decreases by (e)   Both (b) and (c)

SECTION B – Longer Problems

Answer all questions in this section. For full marks you must show your workings.

Q11 Sandies () and Tropics () are two resorts that are located close to each other and

compete on price, where is the price set by Sandies and is the price set by     Tropics. Each resort can choose to set a high, medium or low price for a room. The following table presents the joint probability distribution of the two resorts’ pricing     decisions, with D in place of a constant.

a)  What is the probability that both resorts charge a high price?

b)  Find the value for D. What is the probability that Sandies will choose a medium price?

c)  Are the random variables and independent from each other? Explain why or why not.

(6 marks)

Q12 Alibaba has found a cave and is trying to decide whether or not to enter. Alibaba

knows that the cave is either “safe” or “dangerous” .  80% of “safe” caves have water running through them, and 20% of “safe” caves are dry. Alibaba does not know if the cave is “safe” but is able to form an opinion by observing the cave.

Alibaba knows that 40% of caves have water. He also knows that in general 20% of caves are safe and have water.

(a)  What is the probability that the cave is dangerous, knowing that it has water? (b) What is the probability that any cave is safe?

Alibaba is in search of treasure. “Dangerous” caves tend to have more to offer in terms of riches. He knows that if he enters a “dangerous” cave he usually finds    £2,000 in treasure. If he enters a “safe” cave he usually finds £200.

(c) Suppose he can not observe whether or not a cave has “water”. What is Alibaba’s expected payoff for entering any random cave?

(d) Now suppose he is in front of a particular cave, and that there is a path leading     into the cave. Alibaba knows that 50% of caves have paths leading into them. He  also knows that 20% of caves have a path leading into them AND are safe.  What is Alibaba’s expected payoff from entering the cave? How has this new                  information effected Alibaba’s incentive to enter the cave?

(10 marks)

Q13 The city of Nutella is holding a referendum on whether or not to ban Vanilla from

being used within the city limits. The local newspaper would like to conduct a              statistical test to see if they can get a sense of how the city will vote in the                   referendum.  They choose a sample of 100 individuals and ask them to rank from 1-   100 how they feel about Vanilla, with 1 being “get it outta here” and 100 being “I can’t live without it” .  Let represent the random variable “opinion on vanilla” taking values between 1 and 100.  Therefore represents the outcome for the opinion of person from the sample.

(a)   Explain carefully how the newspaper should go about selecting their sample in

order to ensure that the observations are independent and identically distributed (i.i.d.).

(b)   For a sample of size , the sample mean is defined as:

= ∑

Define the constant true population mean of the view of the Nutella population as () = . Show that the sample mean is an unbiased estimator of .

After collecting their i.i.d. observations the city calculates the sample mean to be = 56 . The variance of for the underlying city population is given as 2  = 400.

(c)   Construct a 95% confidence interval for the true population mean, .

(d)   The newspaper would like to test the hypothesis that the city is undecided        about how they feel about Vanilla, and so the true population mean is equal to

50 . Write down the null and alternative hypothesis for this test.

(e)   Calculate the test statistic.  What is the conclusion of the newspaper’s test?

Relate your answer to what you found in part (c).

(f)   You are told that all of the individuals in the sample taken are from the same

neighbourhood in the city.  Does this affect your interpretation? Why or why not?

(14 marks)

Q14 Bristol power supplies electricity according to the following function of price, > 0:

() =

(a) What is the range of this function?

(b) What is the limit of supply as electricity prices approach zero?  Does this make

economic sense?

(c) What is the limit of supply as the price approaches infinity? Does this match your expectations?

(d) Suppose that the inverse demand for electricity is given by the following function:

() = −3

Where > 0 is a positive constant. Explain why this function is invertible. Find the inverse of the function.

(e) Bristol Power is thinking about raising its prices. Calculate the price elasticity of

demand.  By what percentage would demand change if price increased by 6%?

(12 marks)

Q15 The supply of almonds as a function of price, , is given by the following:

() = 2(1 − − )

and the inverse demand, (), for almonds is given by:

1               1

() = ln − ln

Where is the quantity demanded and > 0 is a measure of current economic conditions.

(a) Solve for demand as a function of price, ()

(b) Set supply equal to demand, finding an equation that implicitly determines the equilibrium price of almonds in this market, ∗

(c) How does the equilibrium price, ∗ , change with small changes in current economic conditions, ?

(7 marks)

Q16 Bristol farms has hired you as an economics consultant to help them streamline

production and increase profits. The farm’s technology is such that it is able to produce according to the following:

( , ) = 0.25 0.75

Where is the amount of labour employed costing per unit, and is the amount of capital, costing per unit.

The farm would like to minimise its costs while continue to produce at a fixed level of .

(a) Write down the problem that you are helping the farm solve

(b) Find the solution to the farm’s problem, ∗  and ∗

(7 marks)