G5124

BSclMMath LEVEL 6 EXAMINATIONS 2019

MATHEMATICS: FINANCIAL MATHEMATICS

1.  (a)  State the two identities known as

(i)  the price-yield relation, (ii)  the yield-price relation.

You should explain any notation you introduce.

(b)  Consider a loan of nominal amount N, which is to be repaid after n years at a price of R per unit nominal, and let C = NR. Let the coupon rate be D and the coupon be payable p-thly with the unit time being one year.

Derive Makeham’s formula from the price-yield relation, where A(n. i) is the present value of the loan, i the net yield, K the capital’s present value, / = D,R and o the income tax rate.

(c)  A loan of nominal amount £300. 000 is redeemable at 105% with a rate of interest of 5% per annum payable half-yearly. The redemption is paid in four equal instalments, which are due at the end of year 5, 10, 15 and 20. The investor is liable to income tax at a rate of 30%. What price should the investor pay at issue date to obtain a net yield of 8%?

2.  For an investment ending at time T we denote the net cash flow at time t by ct  and the net rate of cashflow per unit time by 6(t). The present time is t = 0 and time is measured in years.

An infrastructure fund considers the construction of a new bridge.  It estimates that the project will require an initial outlay of £22.475m = £22,475,000 and a further outlay of £10m after one year (m = million). There will be an estimated inflow of toll charges of £1m per annum payable continuously for 47 years, beginning at time t = 3.

(a)  Measuring time in years, describe the net cash flows associated with this venture and plot the cash flows with a cash flow chart.

(b)  Give the yield equation for this problem. Determine whether the yield of this invest- ment is (approximately) 1r 1%, 1r3%, 1r5%, 1r7% or 1r9%.

(c)  Assume that the fund may borrow or lend money at 1r0% per annum.  Determine whether or not the business venture is profitable, and find the profit or loss when the project ends in 50 years’ time.

(d)  Suppose that the infrastructure fund now wants to adjust the above cash flows to account for a constant rate of inflation e of 1% per annum. The fund can borrow at an interest rate of 1r5% per annum.  Calculate the net present value at this interest rate, allowing for inflation.  Is the yield i0(e)  allowing for inflation larger or smaller than 1r5%?

3.    (a)  A loan of £1800 is to be repaid with 12 equal monthly instalments.  The nominal rate of interest i(12) for the transaction is 6% per annum convertible 12-thly. Find the amount of each monthly repayment, assuming that payments are made

(i)  at the end of each month,

(ii)  at the beginning of each month.

(b)  A bank credits interest on a deposit using accumulation factors based on a variable force of interest.  On 1 July 2019, a customer deposits £48,000 with the bank.  On

1 July 2021, the deposit has grown to £60,000. The force of interest per annum is 0r01 ＋a t2  (1 July 2019 = 0, unit of time = year) during the period. Find the force

of interest per annum on 1 July 2020. 

(c)  State and prove the principle of consistency for accumulation factors. Introduce all

notation carefully.

4.  Carefully explain all notation you introduce:

(a)  State and prove the formula to express the present value anl of a level annuity payable                   in arrears for a duration of n years.  

(b)  £1000 is invested at time 0 and the proceeds at time 12 are £1800.  Calculate the accumulation factor A(6. 12) if A(0. 9)  =  1r8, A(2. 3)  =  1r 1, A(2. 6)  =  1r32 and

A(3. 9) = 1r45.  

(c)  Assuming that the accumulation factors A(s. t) are continuously diferentiable in s

and t, prove the force of interest relation