Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

Prob and Stat

Homework 8

Problem 1

Suppose the distribution of Y , conditional on X = x, is N (x, x2 ) and that the marginal distribution of X is uniform(0,1).

(1) Find E(Y), var(Y), and cov(X, Y).

(2) Prove that Y/X and X are independent.

Problem 2

Let X1 , X2  and X3  be uncorrelated random variables, each with mean µ and variance σ2 . Find, in terms of µ and σ2 , cov(X1 + X2 , X2 + X3 ) and cov(X1 + X2 , X1 - X2 )

Problem 3

The random pair (X, Y) has the joint distribution as below:

P (X = 1, Y = 2) = 1/12, P (X = 1, Y = 3) = 1/6, P (X = 2, Y = 2) = 1/6, P (X = 2, Y = 4) = 1/3, P (X = 3, Y = 2) = 1/12, P (X = 3, Y = 3) = 1/6.

(1) Find the conditional probability mass function fX[Y (x|y) and verify that X and Y are dependent.

(2) Give a probability table for random variables U and V that have the same marginals as X and Y but are independent.

Problem 4

Let X1 , X2  and X3  be independent normally distributed with mean  -1 and variance 2. Define U = X1 - X2  and V = X2 + X3 .

(1) Calculate the covariance between X1 - X2  and X2 + X3 .

(2) If we further assume that Xi ’s are normally distributed, what is the joint distribution for (U, V)?