Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

Homework 6

Problem 1

Calculate EX and varX and the MGF of X when X ∼ U[a, b]. And derive EX and varX through MGF instead of directly integrating pdf.

Problem 2

Starting from the density function of the normal distribution N(µ, σ2), verify that the parameters µ and σ2  are indeed the mean and variance of this normal distribution.

Problem 3

Suppose X and Y have the joint PMF

fXY (x, y) = c|x + y| for x = − 1, 0, 1 and y = 0, 1,

where c is an unknown constant.

(1) Obtain the joint PMF table for the bivariate random variable (X, Y), with c involved;

(2) Find the value of c;

(3) Give the supports of X , Y, and (X, Y) respectively;

(4) Compute P(X = 0 and Y = 1);

(5) Compute P(X = 1);

(6) Compute P(|X − Y| ≤ 1).

Problem 4

The Parieto distribution, with parameters α and β, has PDF

f(x) = xβ+1 , α < x < ∞, β > 0, α > 0.

(1) Verify that f(x) is a PDF.

(2) Derive the mean and variance of this distribution.

(3) Prove that the variance does not exist if β ≤ 2.