Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit



Theory of Probability, HW3

 

Mostly from A first course in probability by Sheldon Ross.

 

You must justify all solutions.  Insufficient justifications will result in reduced credit or no credit.

1. If two fair dice are rolled, what is the conditional probability that the first one lands on 6 given that the sum of the dice is i?   Compute for all values of i between 2 and 12. Your final answer should be a numeric value.

2.  Consider two boxes, one containing 1 black and 1 white marble, the other 2 black and 1 white marble. A box is selected at random, and a marble is drawn from it at random.  What is the probability that the marble is black?  What is the probability that the first box was the one selected given that the marble is white? Your final answers should be numeric values.

3.  Box I contains 2 white and 4 red balls. Box II contains 1 white and 1 red ball. A ball is randomly chosen from box I and put into box II. Then a ball is randomly selected from box II. (a) What is the probability that the ball selected from box II is white?  (b) What is the conditional probability that the transferred ball was white given that a white ball is selected from box II?

4.  Prostate cancer is the most common type of cancer found in males.   As an indicator of whether a male has prostate cancer, doctors often perform a test that measures the level of the prostate-specific antigen (PSA) that is produced only by the prostate gland. Although PSA levels are indicative of cancer, the test is notoriously unreliable. Indeed, the probability that a noncancerous man will have an elevated PSA level is approximately 0.135, increasing to approximately 0.268 if the man does have cancer. If, on the basis of other factors, a physician is 70 percent certain that a male has prostate cancer, what is the conditional probability that he has the cancer given that

(a) the test indicated an elevated PSA level?

(b) the test did not indicate an elevated PSA level?

Your final answers should be numeric values (use a calculator).

5.  Show that if P(A) > 0, then P(A n B l A) > P(A n B l A u B).

6. We toss a coin 8 times.   Which of the following is most probable:  the total number of heads is greater than 4, equal to 4, or less than 4?

7.  Barbara and Dianne go target shooting.  Suppose that each of Barbara’s shots hits a wooden duck target with probability p1 , and each shot of Dianne hits it with probability p2 .  Suppose they shoot simultaneously at the same target. If the wooden duck is knocked over  (indicating that it was hit), what is the probability that (a) both shots hit the duck?  (b) Barbara’s shot hit the duck?

What independence assumptions have you made?

8.  Let Qn  denote the probability that no run of 3 consecutive heads appears in n tosses of a fair coin. Show that

and Q0  = Q1  = Q2  = 1.  Find the numerical value of Q8  (you may use a com- puter/calculator)

9.  Suppose that you sequentially collect coupons and that there are n different types.  Each time you collect a coupon, it is independent of anything else, and it is of type i with probability pi , i = 1, . . . , n. Suppose you just collected your kth coupon. What is the probability that it is of a new type (i.e., its type does not coincide with types you already have)?

10.  A and B alternate rolling a pair of dice, stopping either when A rolls the sum 9 or when B rolls the sum 6.  Assuming that A rolls first, find the  (numerical value) probability that the final roll is made by A.