Theory of Probability, HW1

From A first course in probability by Sheldon Ross.

1.  For years, telephone area codes in the United States and Canada consisted of a sequence of three digits.  The first digit was an integer between 2 and 9, the second digit was either 0 or 1, and the third digit was any integer from 1 to 9. How many area codes were possible?  How many area codes starting with a 4 were possible?

2. When all letters are used, how many different arrangements can be made from the letters

(i)  FLUKE?

(ii)  PROPOSE?

(iii)  MISSISSIPPI?

(iv)  ARRANGE?

3. In how many ways can 8 people be seated in a row if

(i) there are no restrictions on the seating arrangement? (ii) persons A and B must sit next to each other?

(iii) there are 4 men and 4 women and no 2 men or 2 women can sit next to

each other?

(iv) there are 5 men and they must sit next to each other?

(v) there are 4 married couples and each couple must sit together?

4.  From a group of 8 women and 6 men, a committee consisting of 3 men and 3 women is to be formed. How many different committees are possible if

(i)  2 of the men refuse to serve together?

(ii)  2 of the women refuse to serve together?

(iii)  1 man and 1 woman refuse to serve together?

5.  Prove that

6.  The following identity is known as Fermat’s combinatorial identity:

Give a combinatorial argument (no computations are needed) to establish this identity.  Hint: Consider the set of numbers 1 through n. How many subsets of size ≥ have）as their highest-numbered member?