Semester 2, 2021

MATH3975: FINANCIAL DERIVATIVES (Advanced)

1.  [20 marks]  Single-period market model

Consider a single-period market model M = (B, S) on the space Ω = (ω1 , ω2 , ω3 }. We assume that the savings account B equals B0  = 1, B1  = 1 + r = 2 and the stock price S is given by S0  = 11 and S1  = (S1 (ω1 ), S1 (ω2 ), S1 (ω3 )) = (24, 20, 16). The real-world probability P is such that P(ωi ) = pi  > 0 for i = 1, 2, 3.

(a) Find the class M of all martingale measures for the model M and check if the market model M is arbitrage-free and complete.

(b)  Show that the contingent claim X = (8, 6, 4) is attainable and compute its arbitrage price π0 (X) using two methods:

– the replicating strategy for X ,

– the risk-neutral valuation formula.

(c)  Consider the contingent claim Y = (4, 2, -3).

– Find the range of arbitrage prices for Y in M. Is the claim Y attainable in M?

– Find the minimal initial endowment x for which there exists a portfolio (x, ϕ) with V0 (x, ϕ) = x and such that the inequality V1 (x, ϕ)(ωi ) > Y (ωi ) is satisfied for i = 1, 2, 3.

(d)  Consider the extended market M～ = (B, S1 , S2 ) where S1  = S and S2  is an additional risky asset given by: S1(2)  = Y = (4, 2, -3) and S0(2)  = 1.35.

– Find a unique martingale measure  for the extended market M～  = (B, S1 , S2 ).

– Compute the price of the claim Z  =  (-2, 5, 3) in the extended market M～= (B, S1 , S2 ). Is the claim Z attainable in M～?

2.  [20 marks]  CRR model: European contingent claim.

Consider the CRR model of stock price S with T > 1 periods and parameters d, u satisfying d < 1 + r < u where r is the one-period interest rate. We denote by  a unique martingale measure for the discounted stock price  = B 一1 S.

(a)  Consider the binary call and put options with expiry date T and payoffs

T (K) := ≠[K,&) (ST ) =．, 1   if ST  > K,

and

P～T (K) := ≠[0,K)(ST ) = ．   0

．  1

if ST  > K,

if ST  < K,

respectively.  By examining the sum of the payoffs T (K) and P～T (K), find the put-call parity relationship for binary options for any strike K > 0.

(b)  Consider the binary call option with the payoff T (K) at expiry date T and strike K = S0 (1 + r)T . Compute the arbitrage price 0 (K) for this option at time t = 0 using the risk-neutral valuation formula.

(c) Find a unique probability measure  on (Ω , rT ) such that the process S一1 B is a martingale under  with respect to the filtration FS  and show that the following equality holds for any European contingent claim X and any date t = 0, 1, . . . , T

πt (X) = St E ╱XS一T1 | rt、.

(d) Let Y and Z be two European contingent claims with maturity T. Assume that the equality πU (Y) = πU (Z) holds for some date U such that 0 < U < T. Does this assumption imply that πt (Y) = πt (Z) for every U < t < T?

3.  [20 marks]  CRR model: American contingent claim.

Consider the CRR model with T = 2 and S0  = 45, S1(u)  = 49.5, S1(d)  = 40.5. Assume that the interest rate is negative, specifically, r = -0.05. Consider an American claim Xa with the reward process gt  = (St - Kt )+ where K0  = 40,

K1 (ω) = 35.5  for  ω e (ω1 , ω2 },    K1 (ω) = 38.5  for  ω e (ω3 , ω4 }. and K2  = 36.45.

(a) Find the unique martingale measure  on (Ω , r2 ) and compute the price pro- cess Ca  for the American claim Xa  using the recursive relationship, which holds for t = 0, 1,

πt (Xa ) = max !gt , Bt E ╱ B1 πt+1(Xa ) | rt、(.

Find the rational exercise time τ0(*) for the holder of the American claim Xa .

(b) Find the replicating strategy ϕ for the American claim Xa up to the rational exercise time τ0(*)  and check that the wealth V (ϕ) of the replicating strategy matches the price computed in part (b).

(c) Find the early exercise premium for the American claim Xa .

(d) Determine whether the discounted arbitrage price B 一1 π(Xa ) is a super- martingale or a submartingale under  with respect to the filtration F. Find a probability measure Q on (Ω , r2 ) under which the process B 一1 π(Xa ) is a martingale with respect to the filtration F.