1.    “Spherical”  coordinates  on  Minkowski  space:   Consider Minkowski space, ignoring all but one of the spatial dimensions so that we are working with an e↵ectively two dimensional spacetime with coordinates (t,x) and the metric

ds2 = −dt2 + dx2 .                                           (1)

Consider the Milne coordinates (T,R), related to the (t,x) coordinates by

t = T coshR,

x = T sinh R.                                           (2)

Here R 2 (−1, 1), T 2 (0, 1).  These coordinate cover the forward time-like part of the lightcone1  t2 − x2  > 0, t > 0.

a. Plot the Milne coordinate grid as seen in Minkowski (t,x) coordinates. [5 pts.]

b. Find the metric in Milne coordinates.  [5 pts.]

Now consider the Rindler coordinates (T, R), related to the (t,x) coordinates by

t = RsinhT ,

x = RcoshT .                                          (3)

Here R 2 (0, 1), T 2 (−1, 1). These coordinate cover the right-hand space- like part of the lightcone2  −t2 + x2  > 0, x > 0.

c. Plot the Rindler coordinate grid as seen in Minkowski (t,x) coordinates. [5 pts.]

d. Find the metric in Rindler coordinates.  [5 pts.]

2.   Consider a 4 dimensional spacetime with the static spherically symmetric

ds2 = − ✓1 − ◆ dt2 + dr2 + r2d⌦2 ,                      (4)

Here 0  r < RH , and RH  is some constant, analogous to the Schwarzschild radius, but this metric di↵ers from Schwarzschild in that it looks like flat space at small r and goes to a horizon as r ! RH .

a. This metric is a solution to the Einstein’s equation with a cosmological constant and no additional matter: Gµ⌫ + ⇤gµ⌫  = 0. Find ⇤ in terms of RH .  [5 pts.]

b. What are the two conserved quantities E and l for geodesics of massive particles, corresponding to the t and φ Killing vectors respectively?   [5 pts.]

c. Calculate the gravitational redshift of a signal sent from a stationary ob- server at radial coordinate r1  < RH  to another at r2  < RH  with the same angular coordinates. What happens as r2 ! RH?  [5 pts.]

d. Calculate the e↵ective potential Ve↵(r) for the orbital motion of massive particles.  [5 pts.]

e. Are there any circular orbits for r  < RH?  Are there any orbits which don’t eventually fall into the horizon?  [5 pts.]

3.   Suppose we have a standard 4 dimensional flat FRW spacetime with coor- dinates X0  = t, Xi  = xi , i = 1, 2, 3, and metric ds2  = −dt2 + a(t)2δijdxidxj , and that the only matter component is radiation with w = 1/3.

a. The scale factor behaves as a power law a(t) ⇠ tp  for some p. Find p.  [5 pts.]

Now suppose that there is an extra hidden dimension to spacetime, so that spacetime is actually 5 dimensional. The fifth dimension has coordinate X4 = y and is wrapped into a circle of coordinate circumference L so that y ⇠ y + L. The metric is

ds2 = −dt2 + a(t)2δijdxidxj + b(t)2dy2 .                          (5)

There are now two scale factors:  a(t) gives the relation between the physical size and coordinate size of the familiar 3 dimensional space, and b(t) gives the relation between the physical size and coordinate size of the hidden circular extra dimension.  Suppose also that instead of radiation, the universe is completely empty: Tµ⌫  = 0.

b. Find the analog of the Friedmann equation, i.e. the equation coming from the µ = 0, ⌫ = 0 component of the Einstein equations Gµ⌫  = 0.  [7 pts.]

There are now two di↵erent acceleration equations, one coming from the µ = i, ⌫ = j component of the Einstein equations with i,j = 1, 2, 3 running over the large flat dimensions, and one coming from the µ = 4, ⌫ = 4 equation.  Only one of these is actually independent, so we will only need one of them and the other will be automatically satisfied.

c. Find the acceleration equation coming from the µ = 4, ⌫ = 4 component of the Einstein equations.  [7 pts.]

d. Plug a power law ansatz a(t) ⇠  tp , b(t) ⇠  tq  into the Friedmann and acceleration equation you found and find a solution for p,q.  [3 pts.]

The value of p you find should be the same value as that of the radiation filled 4 dimensional expanding universe, and the value of q should indicate that the extra dimension is contracting as the large spatial dimensions expand. Thus a contracting extra dimension can mimic the e↵ect of radiation, at least on the expansion rate.

4.   Light bending tests of Brans-Dicke  Theory:  One of the earliest competitors to GR was Brans-Dicke theory, which is a prototypical example of a scalar-tensor theory. In this problem you will confront this theory with the light-bending test.

Brans-Dicke theory uses a dynamical metric gµ⌫ just like GR, but in addition includes a scalar field φ. The equations of motion are

Rµ⌫  − Rgµ⌫  = Tµ⌫ +  #rµr ⌫φ − gµ⌫r2φ$ +  ✓rµφr ⌫φ − gµ⌫(rφ)2◆ ,

(6)

r2φ =                T .                                                                                             (7)

Here ! is a parameter of the theory, and Tµ⌫  is the standard covariantly con- served matter stress tensor3 .

a. Show that in the absence of matter, flat space gµ⌫  = ⌘µ⌫ with any constant value φ = φ0  for the scalar field is a solution to Brans-Dicke theory. (The fact that φ0  can be any value and still be a solution is an example of a moduli space of solutions.)  [4 pts.]

Consider now linearizing around the solution found in part b, just as we did when studying gravitational waves in GR. Specifically, expand

gµ⌫  = ⌘µ⌫ + hµ⌫ ,    φ = φ0 + ',                                 (8)

and keep only terms linear in hµ⌫ and ', treating Tµ⌫ as first order. For example, the scalar equation (7) becomes

⇤' =        1                                                     (9)

where ⇤ ⌘ ⌘µ⌫@µ@⌫  is now the Laplacian with respect to the flat background metric ⌘µ⌫, and T is now the trace ⌘µ⌫ Tµ⌫  taken with respect to the flat back- ground.

b. Linearize the Einstein-like equation (6). Choose the Lorenz gauge

@⌫  ✓hµ⌫  − 1⌘µ⌫h◆ = 0                                 (10)

for the metric fluctuation, and trace-reverse the result to bring it to the form

⇤hµ⌫  = −  ✓Tµ⌫  − ⌘µ⌫T◆ −  ✓@µ@⌫' + ⌘µ⌫⇤'◆ .        (11)

[6 pts.]

Recall that the general solution to the wave equation ⇤Φ = J is Φ(x,t) = −  R d3x0  , with the retarded time tr   = t − |x − x0 |.   Once a Tµ⌫  is specified, (9) is a wave equation which can be solved for '. The result for ' can then be plugged into (11) which becomes a wave equation which can be solved for hµ⌫ .

Consider the case of a static point mass of mass M at the origin (i.e.  the Sun),

T00 (x,t) = Mδ3 (x),    T0i(x,t) = 0.                            (12)

c. Given this source, solve the equations (9), (11) for ' and hµ⌫. In the equa- tion for hij  you may ignore the terms proportional to @i@j' on the right hand side, since these terms will not a↵ect the light bending predictions. You should find the non-zero results

h00 = A r ,    hij  = B r δij ,    ' = C r ,                  (13)

with A,B,C some constants which you should determine in terms of φ0 and !.  [8 pts.]

d. By equating h00 to the standard Newtonian potential ΦN  = −  via the relation h00 = −2ΦN , determine Newton’s constant G in terms of φ0  and !.  [3 pts.]

We see that Newton’s constant in this theory depends on the background value of the scalar field, φ0. Newton’s constant is thus an environmentally dependent dynamical quantity in this theory, determined as a property of the background solution rather than a parameter in the theory.

e. Write the value of hij  as hij   = −2  Nδij, where    N  is some potential

proportional to the Newtonian potential,

N  = γ ΦN ,                                         (14)

and determine the proportionality constant γ in terms of !.  [4 pts.]