Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

(a)  Calculate the historical annualized returns for each sector ETFs.

(b) Using the annualized returns as expected returns and the covariance matrix obtained

above, calculate the weights of the unconstrained mean-variance optimal portfolio.

(c)  Create a new set of expected returns equal to the historical annualized return (µ) plus a random component, that is:

E [r] = µ + σ * Z                                                    (2)

where σ is the volatility of the random component and Z is a standard normal random variable.

Using σ = 0.005, σ = 0.01, σ = 0.05 and σ = 0.1 calculate the unconstrained mean- variance optimal portfolio using the adjusted expected returns and the covariance ma- trix. Comment on the stability of your portolio weights to changes in expected returns.

(d)  Consider a regularized covariance matrix that is a blend of the historical covariance matrix and a diagonal matrix with each asset’s variance along the diagonals, that is:

 = δΣdiag + (1 - δ)Σfull                                                                (3)

where δ is the weight of the diagonal matrix and (1 - δ) is the weight of the historical covariance matrix.

(e)  Set δ  =  1 and perform and eigenvalue decomposition of the regularized covariance

matrix. What is the rank of the regularized covariance matrix now?

(f)  Try different values of δ between 0 and 1 and perform eigenvalue decomposition on

the regularized covariance matrix. How many eigenvalues are positive? How many are zero?

(g)  Repeat the exercise in (2.c) with the regularized covariance matrix for a few values of

δ. Compare the stability of your portfolio weights to what you got with the historical covariance matrix.

NOTE: All code for completing these exercises should be completed either in Python or C++ and should be written generically.  You may end up using this code on future assignments so I encourage you to code thoughtfully.