Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

WSU Math 440/540 Final Project

Part I (60 points): Find the solution of Maxwell’s Equation.           

Let E(x,t) and H(x,t) be electric and magnetic fields in Q = Ω×(0, ∞),

where Ω ⊂ R3  is a bounded set. Then E(x,t) and H(x,t) satisfy Maxwell’s Equations:

Et  = ∇ × H,         (x,t) ∈ Q,

Ht + ∇ × E = 0,         (x,t) ∈ Q,

N × E(x,t) = 0,         (x,t) ∈ ∂Ω × (0, ∞),

E(x,0) = E0 (x), H(x,0) = H0 (x),         x ∈ Ω .

where E0 (x) and H0 (x) are given initial electric and magnetic fields with ∇ · E0 (x) = 0, ∇ · H0 (x) = 0,x ∈ Ω, N is the outward normal direction on ∂Ω.

(a) Prove

∇ · E(x,t) = 0, ∇ · H(x,t) = 0,         (x,t) ∈ Ω × (0, ∞).

Using this fact, prove E(x,t) and H(x,t) satisfy

Ett − ∆E = 0, Htt − ∆H = 0, (x,t) ∈ Q.

(b) Prove that a solution (E(x,t), H(x,t)) of Maxwell’s Equations is also a solution to the following problem:

Ett − ∆E = 0,         (x,t) ∈ Q,

N × E(x,t) = 0, ∇ · E(x,t) = 0,     (x,t) ∈ ∂Ω × (0, ∞),

E(x,0) = E0 (x), Et(x, 0) = ∇ × H0 (x),x ∈ Ω .

Conversely, a solution E(x,t) and H(x,t) defined by

H(x,t) = H0 (x) − Z0t ∇ × E(x,τ)dτ,

forms a solution to Maxwell’s equations.

(c) Let

Ω = [0,L1] × [0,L2] × [0,L3]

where J(x,t), E0 (x), E1 (x) are given vector functions.

Part II (40 points): Presentation of a research paper in PDE.

(1) Establish a Mathematical Model for Plate Equation (4th-order Laplace Equation) and find the solution

(2) Reaction-Diffusion system on the Prey-Predator population Model.

(3) Reaction-Diffusion system on the infectious disease model.

(4) Black-Scholes Equation in financial engineering.

(5) Choose your own research paper.

Basic Requirement for Presentation

(1) Describe the mathematical model in a precise way.

(2) Summarize the main results.

(3) Describe the main ideas and methods.

(4) Conclusion and future research direction.

(5) References.