ECON 210: Quantitative Methods for Economists

Practice Final Exam

Instructions

● You have 120 minutes to answer the following questions.

● No cell phones.

● Make sure your graphs are complete and well labeled.

1.  Suppose a firm with cost function C(q) = 9q2  faces demand curve p(q) = 1000 一 q .

(a) What is its (total) revenue function, R(q)?

(b) What is its profit function, π(q)?

(c)  Graph the profit function. Make sure all intercepts and axes are labeled.

(d) At what quantity is profit maximized?

(e) What is the optimal price?

(f) What is the maximized profit?

(g) Indicate this maximized profit on your diagram above.

2.  Suppose f (x, y) = x2 一 xy + y2 一 90x.

(a) What are the values of x and y at the turning point? Hint:  There is no constraint for

this problem so you do not need to set up a Lagrangian function.

(b) What is the value of the second derivative with respect to x at the solution?     (c) What is the value of the second derivative with respect to y at the solution?      (d)  Based on the above two answers, is the turning point a minimum or maximum? (e) What is the maximized value of the function?

(f) What is the value of the function at x = 0 and y = 0? Given your solution above, does

this make sense?

3.  Consider a consumer with utility function U (x, y) = x y . If the consumer’s income is 90, the price of good x is px = 5, and the price of good y is py  = 10, determine the utility-maximizing bundle of x and y by following the steps below:

(a)  Set up the Lagrangian function.

(b) What are the three first-order conditions?

(c) Using these three equations, solve for the optimal amounts of x and y in the consumer’s bundle.

(d)  Suppose you solved for the value of λ. What would it represent?

4.  Consider the following probability distribution for random variable X, which is the number of hours a student spends attending lectures per day:

(a) What is P (X ≥ 1)?

(b) What is F (1), where F (x) is the cumulative density function?

(c) What is the mean number of hours, E(X) or µX ?

(d) What is the variance of the number of hours, Var(X) = σX(2)?

(e) What is the standard deviation of X , sd(X) = σX ?

Consider the following probability distribution of hours spent studying per day, Y :

(f) What is E(Y)?

(g) What is Var(Y)?

(h) Let Z = X + Y be the number hours spent attending lectures and studying, and assume

X and Y are independent. What is E(Z)?

(i) What is the variance of the number of minutes spent attending lectures and studying?

5.  Suppose you are interested in determining the average number of hours each day CSUEB students spend on social media. It is impossible to survey them all so you instead randomly survey 5 of them and compile the following sample:

(a) What is the sample mean number of hours, x?

(b)  Suppose the variance of the population of scores is known and is σ 2  = 1.  What is the

95% confidence interval for the (true) population mean?

(c) Explain in words what this 95% confidence interval represents?

(d) Now suppose that you do not know the population variance. What is your estimate of the variance, i.e. the sample variance?

(e) What is the standard error of x?

(f) When looking up the t table for the critical values of a confidence interval, what are the

appropriate degrees of freedom?

(g) What is the 95% confidence interval for the (true) population mean?

(h)  Suppose you hypothesize that the population mean is 0. What are your null and alter-

native hypotheses?

(i) What is the t statistic?

(j) What is the critical value that the (absolute value of the) t value must exceed to reject

the null hypothesis at the 5% level?

(k) What do you conclude for a test at the 5% level? What does this mean in words?

6.  Suppose you are interested in the relationship between proficiency in mathematics and test scores in economics.  For a sample of 8 students, you collect final exam scores in microeco- nomics (score) and scores in the math portion of the ACT (actmath). The data are presented in the first two columns below:

Assume the population regression function is:

scorei = β0 + β1 actmathi + ui

(a) What is your estimate of β 1 , i.e. βˆ1 ?

(b) What is the estimate of β0 , i.e. βˆ0 ?

(c) What is the your estimate of the population regression function?

(d)  Graph this equation.

(e) Interpret in words what βˆ1  means.

(f) What is your prediction for someone who scores 25 in the math portion of the ACT?

Indicate this prediction on your graph above.

(g) What is the standard error of βˆ1 ?

(h)  Suppose you want to conduct a hypothesis test to see if actmath is statistically signifi-

cant. What are the null and alternative hypotheses?

(i)  Can you reject the null hypothesis at the 5% level?