Econ 2A – 2018-2019

December 2018 Degree Exam

QUESTION 1

Suppose that you are in an economy with only two commodities and that you like both                        commodities. The consumption bundle where you consume x₁ units of commodity 1 and 2  units of  commodity 2 is written as ( 1, 2). The set of consumption bundles such that you are indifferent       between ( 1, 2) and (1, 16) is the set of bundles such that 1  ≥ 0, 2  ≥ 0 and 2  = 20 − 4 .      The set of consumption bundles such that you are indifferent between ( 1, 2) and (36,0) is the set of bundles such that 1  ≥ 0, 2  ≥ 0 and 2  = 24 − 4 .

a)    In a diagram where commodity 1 is on the horizontal axis, plot your indifference curves passing through the points (1, 16) and (36,0).

b)   What is the slope of your indifference curve at the point (9, 12). And at the point (4, 16)? Do your indifference curve exhibit diminishing marginal rate of substitution? Explain your             answer. Explain the economic meaning of your findings.

c)    Do you have monotone preferences? Do you have strictly convex preferences? Explain your answers. Why do economists make the simplifying assumption that consumers have convex preferences?

Solutions: The utility function of the consumer is 4 + 2 . The MRS is -2/ . Then, the MRS is -     2/3 at (9,12) and -1  at (4,16). Yes, the consumer exhibits a diminishing marginal rate of substitution.  The slope of indifference curves is negative. This means that the amount of commodity 1 that the       consumer is willing to give up for an additional amount of commodity 2 increases as the amount of     commodity 1 increases. The consumer have monotone and strictly convex preferences. The reason is that typically consumers do not specialize in the consumption of only one commodity.

QUESTION 2

Firm 1 and firm 2 are the only firms who compete in a market. Firm 1 has constant average cost (1) = 1. Firm 2 also has constant average cost equal to (2) = 2. Demand for the product they produce as a function of the price is () = 12 − .

(a)  First assume firms compete in quantity. Calculate the reaction functions and how much each firm produces in a Cournot equilibrium. Draw the reaction functions on a graph, carefully       labelling axis and curves. Calculate profits of each firm.

(b)  Now, calculate quantities produced, price and profits if firm 1 is the Stackelberg leader.        Comment on the differences between profits of each firm in part (b) and profits in part (a).

(c)   If both firms agreed to form a Cartel (i.e. first get together and agree on the quantities each produces) to maximize joint profits, how much would each firm produce? What needs to      happen so that both firms agree to the Cartel?

Solution of (a): The reaction function of firm 1 is found by setting the first order conditions with   respect to 1 from profit maximisation to be equal to zero, and solving the resulting equation for

1 . After having substituted for the price p using the inverse demand function, the maximisation is      the following: 1 (12 − 1  − 2)1  − 1, after having noted that constant average costs equal to

1 imply total costs equal to 1 . Multiplying through, taking the FOCs with respect to 1 and solving     for 1 as a function of 2 we get 1  = . Doing the very same steps for firm 2 and noting that       total costs of firm 2 are 22, we obtain the reaction function of firm 2, which is 2  = .                  Graphically, the Cournot equilibrium quantities are at the the intersection point of the two reaction   functions above. Arithmetically, to derive such quantities, we solve the system of equations given by the two reaction functions above. Substituting the second equation into the first we get 1  =

, which we can then solve for 1 to get = 4 (c is for Cournot here). Substituting this   back into the reaction function for 2 we then get = 3. Using the inverse demand function, we get the price, which is = 12 − 4 − 3 = 5. Profits of firm 1 are equal to 16, profits of firm 2 are  equal to 9.

Solution of (b): Being the Stackelberg leader means that firm 1 can decide how much to produce         before firm 2 gets to make that decision. Firm 1 can take account of the way firm 2 will react to its      decision. This means that firm 1 maximises its profits subject to firm 2’s reaction function. In                practice, we solve this by substituting firm 2’s reaction function into firm 1’s profit maximisation          problem, to get 1 12 − 1  − 1  − 1 . Setting the first order conditions with respect to 1 to be equal to zero and solving for 1, we get that = 6 (s for Stackelberg). Using firm 2’s              reaction function, we then obtain = 2. Equilibrium price can be derived from the inverse demand  function: = 12 − 6 − 2 = 4. It is then straightforward to calculate the profits of firm 1 (which are equal to 18) and firm 2 (equal to 4). Clearly, firm 1 benefits from being the Stackelberg leader in          terms of profits (18 vs 16), while firm 2 has lower profits in part (b) compared to part (a), i.e. 4 rather than 9.

Solution of (c): If firms can agree to form a cartel, only firm 1 will produce, since firm 1 is the firm        with lower marginal costs at all output levels. Firm 1 will behave like a monopolist, equating                 marginal revenues and marginal costs. = 12 − 2 . Since MC=1, this implies that = (m is     for monopoly). From the demand function we get = 12 − = . Firm 2 will produce zero. For    this solution to be sustained, there needs to be a transfer from firm 1 to firm 2 (which clearly makes   no revenues from production in this case). Since this solution maximises total profits, firm 1 will have enough to make a transfer to firm 2, while leaving firm 2 better off compared to competing.

QUESTION 3

Jack owns a bicycle, which he uses to cycle to university every day. The value of the bicycle is 225 pounds. If he crashes while cycling he can sell the parts of his broken bicycle and get 25 pounds.

Jack’s utility over the value of the bicycle is () = 2, with c being the value of the consumption of the services of a bicycle that has value c. There is a chance that he crashes the bicycle (Jack does     not get hurt if he crashes).

(a)  Graph Jack’s utility for values of the bicycle between 0 and 225 pounds on a graph that has c on the horizontal axis and the utility of c on the vertical axis. On the graph, indicate the           amount of utility he would obtain if he crashed, and if he didn’t crash. What is the expected  value of the bicycle (before Jack knows whether he is going to crash or not)? Show this value on the graph. What is Jack’s expected utility (again, before he knows whether he is going to   crash or not)? Show this on the (same) graph. What can we say about Jack’s attitude                towards risk?

(b)  Imagine that Jack can get insurance that pays in case he crashed his bicycle. In particular, the insurance gives him 200 pounds if he crashes his bicycle. The insurance premium is y pounds, which need to be paid whether he crashes his bicycle or not. Please find Jack’s            income in both states of the world (this will include y). If he decides to sign this insurance       contract, how much risk does Jack face? Will Jack sign this insurance policy if y=40?

(c)  What is the highest level of y for which Jack will still get this insurance policy (assume that in the case in which Jack is indifferent he will buy the insurance policy)? Why might it be hard    in reality to get an insurance that reimburses you if you crash your bicycle?

Solution of (a): The graph should show the utility function or at least the two points mentioned

above. The expected value (EV) of the bicycle is = 25 + 225 = 185. Jack’s expected utility, on

the other hand, is () = + = 13. The utility function is clearly concave, implying that Jack is risk averse.

Solution of (b): Let us see what Jack’s consumption bundle can be if he buys this insurance. If he       does not crash his bicycle, Jack has 225 (value of the bicycle) minus y (paid to the insurance                company). If he crashes his bicycle he has 25 (value of the bicycle) plus 200 (from the insurance        company) minus y (paid to the insurance company). Therefore, if Jack buys this insurance policy, he is fully insured: his consumption no longer depends on whether he is going to crash his bicycle or     not. If y=40, he will get this insurance, because getting this insurance gives him a higher expected     utility (around 13.60) compared not net getting the insurance (13).

Solution of (c): Jack will get the insurance policy if the expected utility of getting the insurance policy is at least as large as the expected utility he gets if he does not buy the insurance policy:

225 − ≥ 13. We can solve this to get ≤ 56. Therefore, if y is not larger than 56, Jack will buy the insurance policy. In reality (a case in which you might have more information about the quality of your bicycle than the insurance policy) such insurance is hard to find because one may crash the bicycle on purpose to get reimbursed by the insurance policy. Insurance that do not offer full           insurance are more common.

QUESTION 4

An agricultural firm produces strawberries and operates as a price-taker. The firm’s costs are given by () = 2 + 2  + , with F>0 being a positive constant.

(a)  Please find and draw on a chart (quantity q on the horizontal axis and costs on the vertical axis) the marginal cost function and the average variable cost function of this firm.

(b)  What is the profit-maximizing level of output for the firm if the market price is equal to 12? What is the producer surplus for this firm at the profit-maximizing level of output?

(c)   If fixed costs were to decrease, how would the firm change its profit-maximizing level of         output? How large can the fixed costs be for the firm to have non-negative profits? What       would the firm do if fixed costs were higher than that (imagine the firm knows of these costs but has not incurred them yet)?

Solution of (a): = 2 + 2, = + 2. [students should show this on a graph as well] Solution of (b): Profit maximization with respect to q: − () = 12 − 2 − 2  − .

Setting the first order condition with respect to q to zero we get ∗  = 5. = 10∗5 = 25.

Resit Exam

QUESTION 1

Consider the following coordination game. There ae two players and two strategies available to each player: A and B. The payoffs in the first row (corresponding to player 1 choosing A) are (a,a) and          (0,0). The payoffs in the second row (corresponding to player 1 choosing B) are (0,0) and (1,1)

•     Draw the 2x2 payoff matrix.

•     For what values of a is (A,A) a dominant strategy equilibrium?

•     For what values of a is (B,B) a dominant strategy equilibrium?

Solutions:

See p. 258-259, Serrano and Feldman, A short course intermediate microeconomics with calculus.

QUESTION 2

You rent a room on the top floor of a beautiful but very old tenement flat. A recent storm severely      damaged the roof of the house and you think that there is a 50% chance that the root will collapse. If that happens, you will lose all your stuff, valued at 2,000 pounds (we assume that there is no risk        that you are in the room when the roof collapses). You can sell off any fraction of your stuff to buy      some insurance against this risk, for the price of p pounds for every pound of insurance.

(a)  Let denote your consumption if the roof collapses and denote your consumption if   the roof does not collapse. Write the equation for your state-contingent budget constraint (taking account that insurance is available), with alone on the left-hand side of the         inequality. If your utility of wealth is given by () = , what is your MRS? (Express your answer thinking that is on the vertical axis, consistent with the way we expressed the    state-contingent budget constraint).

(b)  Write down a condition that characterizes the optimal consumption bundle, i.e. a condition that you could use to solve for ( , ). How much should you spend on insurance if =     0.5 (recall that p is the insurance premium for every pound of insurance)? How much if = 0.6? Briefly explain your findings.

(c)   Now suppose that your utility of wealth is given by () = instead. Write your new MRS. How much insurance would you buy if = 0.5? How much if = 0.6 in this case? Show      these solutions graphically on a chart that has on the horizontal axis and on the          vertical axis. Why is this answer different from the one of parts (a) and (b)?

Solution of (a): Without insurance, = 2,000 and = 0. Thanks to the availability of an                  insurance policy, you do not have to face the risk of losing all of your possessions and can decide to    pay a premium to be given a transfer from the insurance company in case the roof collapses. Given    that the price of one Euro of insurance is p, we can write = 2000 − (where X is the amount    you insure. If the roof does not collapse, you still have the 2,000 pounds minus what you paid for the insurance) and = − (if the roof collapses, the insurance pays you the capital you have             insured X, and costs pX to buy). We can then solve for X in both equations, substitute and rearrange,  to get = 2000 − , which is the state-contingent budget constrint. Given the utility function

above, after some .

Solution of (b): The solution will be such that the MRS is equal to the slope of the state-contingent

budget constraint, which means that = , which gives us the following equilibrium

relationship between and : = . We can then use the state-contingent budget

constraint to find . Since = we can then find that = ∗ 2000.  If p=0.5, this means    that X=2000 (full insurance), which makes sense given that this insurance policy is fair. With p=0.6, X=1333, which is less than full insurance: with not-fair insurance, you will still get some insurance,  but not full insurance.

Solution of (c): = −1. This means that for p=0.5 you will be indifferent on how much insurance to get, from zero to full insurance. With p=0.6 you will not get any insurance. This makes sense given that in this case you are risk neutral and are not willing to pay anything in order to lower risk.

QUESTION 3

A monopolist faces market inverse demand = 18 − , and has a cost function () = 2

(a)  On a graph with quantity Q on the horizontal axis and prices P on the vertical axis, show the  demand, marginal revenue, marginal cost curves. Find the profit maximizing price and            quantity and the resulting profit to the monopolist. Show the equilibrium price and quantity on the graph.

(b)  What is the socially optimal price? Calculate the deadweight loss (DWL) due to the         monopolistic behaviour of this firm. Also calculate consumer surplus (CS) and producer surplus (PS). Show CS, PS, and DWL on a (new) chart (same axis as above).

(c)  The government puts a price ceiling on the monopolist at = 10. How much output will the monopolist produce? What will be the profit of the monopolist? Calculate CS, PS, and DWL.   Why is the deadweight loss different now? Show these results on a new chart, carefully          labelling axis and points. How do DWL and CS compare between (c) and (b)? Why?

Solution of (a): MC=q, MR=18-2Q. Equating the two, get = 6 (M for monopolist), = 18 − = 12. = − () = 12 ∗ 6 − 18 = 54.

Solution of (b): We obtain the socially optimal price by setting the price equal to the marginal cost

and solve for quantity: = . After substituting in the inverse demand, we get 18 − = and thus ∗  = 9 = ∗ .