Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit



Linear Algebra (MATH-241)

Project #5

FOR THE FINAL PROJECT DESCRIPTION, GO TO THE FINAL PAGE!

For projects, I’d like a roughly two page writeup, using words as well as  equations. For all explanations, do so in plain language – simply writing down an equation will not receive full credit. You are welcome to consult online reference sources like math sites or Wikipedia, but not to submit this to Chegg (the instructor reserves the right to give you zero if your answers mirror anything from that or similar sites). You may consult with your peers, but the write-up has to be an individual effort. You may also consult with the professor at any time. Any assignment turned in more than three days before the due date will be looked over, and I will suggest any needed changes or tell you that certain parts are complete.

Questions you need to answer are numbered below, the parts in between are intended to explain various aspects of the problem.

This project will be an introduction to how we can represent Complex Numbers as real-valued 2 × 2 matrices, and how we can represent and use an extension of the complex numbers known as Quaternions.

The following Wikipedia pages may be a good place to start:  Complex NumberQuaternionQuaternions and Spatial Rotation.

 

Matrix representations of complex numbers

1. In  order  to  introduce  complex  numbers,  we  typically  define  i  to  be  the  square  root  of  _1,  such  that i2   = _1   兮   i = ′_1.  This is known as the imaginary  unit.  It is NOT real!  No real number satis- fies this condition. Complex numbers are then defined as values z = a + bi, where a and b are real-valued.

We could also represent complex numbers using real-values 2 × 2 matrices. If we define “1” to be represented

by I2 , the 2 × 2 identity matrix, then we can represent i as    and

z = a + bi = 

Let’s make sure this is sensible.  First, show that  “i2  = _1”, by working it out in matrix terms and then converting back to complex numbers. Next, if we let matrix multiplication stand in for complex multiplication, what is (a + bi)(c + di)? Is complex multiplication commutative? Check by also calculating (c + di)(a + bi).

2.  The conjugate of a complex value z = a + bi is the value z*  = a _ bi. What operation represents this using matrices? We define the magnitude of a complex value to be |z|2  = zz* .  Using the matrix representation, what do we find for the value of |z|2 ? Do you see anything interesting about the allowed values?

3. We can define complex division by saying that 1/z is equivalent to the multiplicative inverse of z.  What is the inverse of a matrix representing z = a + bi? Can you express this as a particular scalar multiple of some other matrix related to z?

4.  The matrix representing i has the form of a 2 × 2 rotation matrix. What is the rotation angle? This notion is important in understanding how mathematicians view the complex plane. Using what we’ve learned about rotation matrices, what is the square root of i, that is, what matrix times itself equals the matrix representing i? What complex value does it correspond to?

 

Quaternions

5.  Quaternions are an extension of the complex plane into two more dimensions. A quaternion is defined as a value

q = a1 + bi + cj + dk


where 1 times anything is equal to that thing, but also:

i . i = j . j = k . k = _1;    i . j = _j . i = k,    j . k = _k . j = i;    k . i = _i . k = j

We further assume linearity over the scalars multiplying 1ij, and k.  Note that quaternion multiplication is NOT commutative.

We can represent a quaternion using the following 4 × 4 matrix:

╱a    _b    _c    _d

q = a1 + bi + cj + dk =  

d    _c      b       a 

What is the product of two quaternions q1  = a1 + bi + cj + dk and q2  = h1 + ai + mj + nk? I’d like both the matrix form as well as the quaternion representation.

6.  The conjugate of a quaternion q = a1 + bi + cj + dk is the value q*  = a1 _ bi _ cj _ dk.  What operation represents this using matrices? We define the magnitude of a quaternion to be |q|2  = qq* . Using the matrix representation, what do we find for the value of |q|2 ?  Do you see anything interesting about the allowed values?

 

7.  New twist: show that for any quaternion q

q* = _  (q + iqi + jqj + kqk)

To do so, start from q = a1 + bi + cj + dk, and calculate each term separately: iqijqj, and kqk.

8. We can define quaternion division by saying that 1/q is equivalent to the multiplicative inverse of q.  What is the inverse of a matrix representing  q?   Can you express this as a particular scalar multiple of some other matrix related to q?  Note that because quaternion multiplication is not commutative, q1 /q2  is not well-defined, and could represent q1 q2(—)1  OR q2(—)1 q1 , which may be different!

9.  Two unrelated applications of what we’ve seen above:

◆ A  “pure” quaternion p is one with only imaginary components and no real one:  p = bi + cj + dk. Calculate the product of two pure quaternions, p1p2 . Can you identify the “real” and “imaginary” parts of the result with familiar kinds of vector products?

◆ Can you show that there are infinitely many square roots of _1 among the  (pure) quaternions?   In (b, c, d) space, what geometric object do they form?

10.  Quaternions can be used to perform rotations of three-dimensional objects in computationally convenient ways. If we want to rotate a vector p by an angle θ about an axis  = ui + uJj + uk in 3-dimensional space, we can say that the rotated version p  satisfies p  = qpq — 1 , where

q = cos(θ/2)1 + sin(θ/2)

Construct the matrices for a.) a rotation of 906  around ; b.) a rotation of 1806  around ; and c.) a rotation of 1206  around the vector  = ik , and confirm we get the expected behavior for p  as a function of p in each case.


FINAL PROJECT - DUE 12/15

Choose an application of linear algebra or a technique we did not cover in class. Write up 2-3 pages on it. Make it interesting! Use citations appropriately.

To answer the question you are about to ask – yes, that topic seems fine, if you find it interesting.

 

Grading Rubric (per problem):

0/10:  No work, just restating the problem, or something completely irrelevant.

6/10:  Some mathematics and words appear, which were potentially relevant.

7/10:  Some mathematics and words relevant to the problem appear.

8/10:  A good start toward an explanation, but unclear where to go with things.

9/10:  A majority of the required work/explanation appears.

10/10:  Correct and clearly explained, or nearly so.

The instructor reserves the right to use intermediate scores (e.g., 9.5/10) as warranted.