Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

Linear Algebra (MATH-241)

Homework #12

1.  Show that the mapping T : P2  → P2  defined by T (ax2 + bx + c) = a(x − k)2 + b(x − k) + c is invertible by considering the matrix of coefficients with respect to the basis {1, x, x2 }. What is the inverse transformation?

2.  Consider the effect of the mapping T : P2  → P2  defined by T [p(x)] = x2p(1/x).  What is the matrix for this transfomation with respect to the basis {1, x, x2 }? What does this transformation do?

3. What is the rank of the linear mapping T : M22  → R2  that sums each row of the matrix and puts the same value in the same row of the result vector? What is the nullity? What are a basis for the kernel and the range?

4.  Using the standard basis for M22 , what is the matrix that corresponds to the linear transformation that maps a matrix M to its transpose MT . What is the inverse of that matrix?

Math and theory

5.  Consider the following mappings on the space of all polynomials: I[p(x)] =  0n p(xα )dxα  and D[p(x)] = 尸n(尸)p(x). By the fundamental theorem of calculus, we know that D[I[p(x)]] = p(x).  What happens with I[D[p(x)]]? Doesn’t this violate our rules that if two matrices multiply to the identity, we can reverse the order to do so too?

6.  Can you construct isomorphisms that map a.) the symmetric 3 × 3 matrices to R‰ , for the proper value of n; b.) the antisymmetric 3 × 3 matrices to Rj  for the proper value of m.

7.  Show that the mapping T : P1  → R2  defined as

T [ax + b] = ┐

for any specified values x1 , x2  that are distinct, is an isomorphism.

Application Problems

8.  Consider a basis for a subspace of F, the space of all functions, given by {e2n, xe2n}.  In terms of this basis, what are the matrix form for:

● D: the differentiation operator.

● D − 3I: the operator that returns 尸(尸)n(d)  − 3f(x).

● D − 2I: the operator that returns 尸(尸)n(d)  − 2f(x).

Which of these operators has a non-trivial kernel?  What does that imply about the basis functions and the homogeneous differential equations one can form using these operators?

9.  Consider a basis for a subspace of F, the space of all functions, given by {e3n, xe3n, x2 e3n}.  In terms of this basis, what are the matrix form for:

● D: the differentiation operator.

● D − 3I: the operator that returns 尸(尸)n(d)  − 3f(x).

● D2 , the second derivative operator.

● D2 − 6D + 9I: the operator that returns 尸(尸) 6 尸(尸)n(d)  + 9f(x).

What is the null space of that last operator? you will find it is equivalent to the homogeneous solutions to the differential equation.

10. What is the matrix of the differentiation operator acting on the subspace of functions spanned by {cos x, sin x, x cos x, x sin x}. Is it invertible?