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Math 2174, Spring 2024, Final Project

Besides the theorems in the lecture notes, you may use the following equations without proof:

If k ≠ 0,

1.  Function f(x) satisfies f(x + 2) = f(x), and

(a)  (6 points)  Sketch f(x) in the interval [−3, 3].

Open  and/or closed circles should be  distinguishable from  each  other.

In particular, at each of x = −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, the unique value off(x) should be clear from the sketch. 

(b)  (10 points)  Find the Fourier series *(x) of f(x).

When computing coefficient(s),  do NOT separate  into  even  and odd  cases.

(c)  (6 points)  Sketch *(x) in the interval [−3, 3].

Open  and/or closed circles should be  distinguishable from  each  other.

In particular, at each of x = −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, the unique value off(x) should be clear from the sketch.

(d)  (6 points)  Use your answers above to compute the infinite sum

2.  A thin metal rod R1 of length 1cm lies horizontally with insulated ends.  Its temperature p(x,t) at point x along the rod at time t obeys the Heat Conduction equations with homogeneous boundary conditions:

The temperature u(x,t) of an identical rod R2 obeys the same equations except at its right end, which is insulated at 3 degrees:

(a)  (4 points)  Find the steady-state temperature distribution v(x) of R2.

(b)  (6 points)  Use (Eq1) to find dn  = 2 l01 f(x)sin(nπx) dx.

(c)  (10 points)  Use your answers above to find the transient temperature distribution w(x,t) of R2. When computing coefficient(s),  do NOT separate  into  even  and odd  cases.