1    Overview

For this assignment, your task is to write a MiniZinc model for a given problem specification.

.  Submit your work to the MiniZinc auto grading system  (using the submit button in the MiniZinc IDE).

.  Submit your model (copy and paste the contents of the .mzn file) and report using the Moodle assignment.

You have to submit by the due date (26th April 2024, 11:55pm), using MiniZinc and using the Moodle assignment, to receive full marks. You can submit as often as you want before the due date. Late submissions without special consideration receive a penalty of 10% of the available marks per day. Submissions are not accepted more than 7 days after the original deadline.

This is an individual assignment. Your submission has to be entirely your own work. We will use similarity detection software to detect any attempt at collusion, and the penalties are quite harsh.  You may not use large  langauge models for any part of this assignment.  If in doubt, contact your teaching team with any questions!

2    Problem Statement

Your task is manage the roster a busy hospital

There are 5 kinds of shifts in the roster:

MORN the person works in the morning shift

DAY the person works on the day shift

EVEN the person works on the evening shift

NIGH the person works on the night shift

OFF the person has the day off

Your aim is to build a roster over a give number of days for a set of nurses, that satifies various constraints, about shift sequence, that has enough people available for each shift type.  You must also assign nurses to wards, and satisfy constraints about wards assigned.

Input data is given in MiniZinc data format:

NURSE  =  ⟨   The  set  of  people  to  roster  ⟩;

nday  =  ⟨   The  number  of  days  to  roster  for  ⟩;

rostered off  =  ⟨  For  each  nurse  and  day  have  they  been  already  granted  a  day  off     ⟩;

maxweek  =  ⟨   The  maximum  work  shifts  allowed  in  any  7  day  period   ⟩;

maxnightfort  =  ⟨   The  maximum  number  of  NIGH  shifts  allowed  in  any  14  day  period     ⟩;

minfort  =  ⟨   The  minimum  work  shifts  allowed  in  any  14  day  period   ⟩;

minshift  =  ⟨  For  each  shift  and  day  the  minimum  nurses  rostered  to  each  shift   ⟩; shift cost  =  ⟨   The  cost  for  rostering  on  each  nurse  for  one  day  ⟩;

WARD  =  ⟨   The  set  of  wards   to  assign  ⟩;

dummy  =  ⟨   The  ward  representing  a  dummy   (no  ward)  assignment   ⟩;

minward  =  ⟨   For  each  ward  and  day  the  minimum  nurses  rostered  to  each  ward   ⟩; maxward  =  ⟨   The  maximum  wards  any  nurse  can  staff  in  the  roster  period   ⟩;

SKILL  =  ⟨   The  set  of  advanced  skills  nurses  may  have   ⟩;

skill  =  ⟨  For  each  nurse  the  set  of  advanced  skills  they  have   ⟩;

desired  =  ⟨  For  each  ward  the  advanced  skills  they  want   ⟩;

emergency  =  ⟨   Which  ward  is  the  emergency  ward  if  there  is  one   ⟩;

Note that the emergency data can be omitted meaning there is no emergency department in the roster problem.

Here is a sample data set (given in nroster00.dzn):

NURSE  =  {  A,  B,  C,  D,  E,  F,  G,  H,  I,  J,  K,  L,  M,  N,  O,  P  };

nday  =  14;

rostered_off  =  [|  true,  false,  false,  false,  false,  false,  false,

true,  false,  false,  false,  false,  false,  false

|   . .  too  big  to  show  . .  |];

maxweek  =  5;

minfort  =  8;

maxnightfort  =  4;

minshift  =    [|   1,  3,  1,  1,  2,  2,  1,  1,  2,  1,  1,  2,  2,  1

|   2,  2,  6,  2,  4,  3,  6,  2,  6,  2,  2,  4,  3,  2

|   1,  5,  3,  2,  1,  2,  1,  3,  1,  1,  2,  1,  2,  1

|   2,  2,  2,  2,  6,  2,  2,  4,  2,  2,  5,  4,  4,  2

|   0,  0,  0,  0,  0,  0,  0,  0,  0,  0,  0,  0,  0,  0

|];

shift_cost  =  [  1,  1,  1,  1,  2,  2,  2,  3,  3,  3,  3,  3,  4,  4,  10,  10  ];

WARD  =  {  GEN,  EME,  HRT,  CAN,   ’.’  };

dummy  =  ’.’;

minward  =      [|   2,  5,  2,  5,  0,  0,  2,  2,  5,  2,  5,  0,  0,  2

|   2,  2,  2,  2,  4,  4,  2,  2,  2,  2,  2,  2,  4,  4

|   1,  1,  0,  1,  1,  0,  1,  1,  0,  1,  1,  0,  1,  1

|   1,  1,  5,  1,  1,  2,  1,  1,  1,  1,  1,  2,  1,  1

|   0,  0,  0,  0,  0,  0,  0,  0,  0,  0,  0,  0,  0,  0

|];

maxward  =  2;

SKILL  =  {  SENIOR,    EMERG,  CARDIO,  RADIO  };

senior  =  SENIOR;

skill  =  [  {},  {},  {},  {},  {},  {},  {EMERG},  {EMERG},  {CARDIO},  {RADIO},  {SENIOR},

{SENIOR},  {EMERG,CARDIO},  {EMERG,RADIO},  {EMERG,  SENIOR},  {CARDIO,  SENIOR}  ];

desired  =  [  {},  {  EMERG  },  {  CARDIO  },  {RADIO},  {}  ];

emergency  =  EME;

This data requires building a roster for 16 employees over 14 days.

The decisions of the roster are

array[NURSE,DAYS]  of  var  SHIFT:  sh;  %  shift  for  each  nurse  on  each  day array[NURSE,DAYS]  of  var  WARD:  wd;  %  ward  rostered  for  each  nurse

var  int:  total_cost;  %  the  total  cost  of  the  roster

The assignment is in stages, please attempt them in order.  Note that if you do not complete all stages you cannot get full marks.

Stage A - Basic Rostering

Create a model nroster.mzn that takes data in the format specified above and decides on shifts for each person. For Stages A – C you can just set the wd to dummy for all nurses.  For Stages A – B you can just set total cost to 0 .

For stage A we just need to ensure we make acceptable roster schedules for each nurse.

A1   First we need to ensure that every nurse is rostered OFF for each day where rostered off is true.

A2   Next we need to ensure that the model decides on shifts for each person that satisfy the shift regulation constraints, which are:

. No nurse works more than 3 NIGH shifts in a row

. No nurse works a MORN shift directly after a NIGH shift

. No nurse works a DAY shift directly after a NIGH shift

. No nurse works a MORN shift directly after an EVEN shift

. No nurse has more than 2 OFF shifts in a row

. No nurse that works a DAY shift has less than 2 DAY shifts in a row (except the last shift can be a lone DAY shift)

A possible sh solution for the data above to stage A is:

A:   .  E  E  E  E  E  N   .  E  E  N  E  E  D

B:  M  .  E  E  E  E  E  .  .  E  E  E  E  D

C:  D  D   .  E  E  E  .  M  M  .  E  E  E  D

D:  E  N  N   .  E  E  E  E  D  D  .  E  E  D

E:  E  E  E   .  .  E  E  E  E  E  .  .  E  D

F:  E  E  E  E  N   .  E  E  E  E   .  M  .  M

G:  E  E  E  E   .  M  .  E  E  E  E  .  M  .

H:   .  E  E  E  N  .  M  .  E  E  E  D  D  .

I:  M   .  E  E  E  E  E   .   .  N   .  E  E  D

J:  E  N   .  N   .  E  E  E  E   .  E  E  E  D

K:  E  E  N   .  E  E  E  E  E  N   .  .  E  D

L:  E  E  E  .  .  D  D  .  E  N  N  .  E  D

M:   .  E  E  E  N   .  E  E  E  E  E  E  .  M

N:  E  E  E  E   .  M  .  N  .  E  E  N  N  .

O:   .  E  E  N  E  E  E  E  E  E  E  N  N  .

P:  M   .  E  E  E  E  E  E  E  E  E  N  .  .

Where M = MORN, D = DAY, E = EVEN, N = NIGH and . = OFF. Note how the days off for nurse A align with where they are rostered off (days 1 and 8). No nurse roster violates any of the constraints, e.g. we dont see three days OFF in a row, or less than two DAY shifts in a row, except on the last day.

Note there are global constraints that can create very efficient models for this stage.

Stage B - Minimum Rostering Levels

Clearly the schedule above has many EVEN shifts.  This is because without making sure each shift has enough people on it we get silly solutions.

B1   In this stage we need to ensure that each SHIFT types for each day d has at least minshift[s ,d] nurses rostered to it.

B2   We also need to enforce long term constraints on the shift sequences of nurses:

. No nurse works more than maxweek shifts (shifts other than OFF) in any 7 day period.

. No nurse works less than minfort shifts in any 14 day period.

. No nurse works more than maxnightfort NIGH shifts in any 14 day period.

Use global constraints where possible to encode these constraints.

A possible sh solution for the data above to stage A is:

B:     E  E  N  N   .  E  .  N  N  .  E  E  :  9

C:  E  E   .  M  M  .  D  D  D  .  D  D  .  N  :   10

D:  M  M  N  .  N  .  D  D  D     D  D  M  :  10

E:  N  E  D  D  .  M  .  E  D  D  N  .  M  .  :   10

F:  M  N  .  N  N  .  E  .  D  D  D  M  .  D  :   10

G:  D  D  D  .  N  N  .  D  D  .  E  D  D  .  :   10

H:   .  M   .  M  E  D  D  .  N  .  N  N  N  .  :  9

I:  M  .  M  .  D  D  D  N  .  M  .  N  E  N  :   10

J:  M  M  .  N  .  E  D  D  M  .  N  .  N  E  :   10

K:  N  N  E  .  M  M  .  M  D  D     M  M  :  10

L:  D  D  D  E      N  .  M  E  E  .  M  D  :  10

M:   .  E  N  .  N  .  M  N  E  .  E  N     :  8

O:   .  E  E   .  N  E   .  E  N  E   .  N  N  .  :  9

P:     D  D  D   .  N  N  .  N  N  E  .  .  :  8

MORN:  4  3   1  2  2  2  1  1  2  2  2  2  3  3

DAY:    2  3  6  3  4  3  6  4  6  3  2  4  3  2

EVEN:  1  5  3  2  1  2  1  3  2  2  3  1  2  2

NIGH:  2  2  2  2  6  2  2  4  2  2  5  4  4  2

OFF:    7  3  4  7  3  7  6  4  4  7  4  5  4  7

Where now we show the number of working shifts in the 14 day period for each nurse on the right. Note how in each 7 day period no nurse works more than 5 shifts, and no one works less than 8 shifts in the full 14 day roster. No nurse works more than 4 NIGH shifts over the 14 day roster.

The number of nurses on each shift for each day is shown below the roster.  Note how each reaches the min required by minshift.

Stage C - Optimising Cost

Now we need to calculate the total shift cost, and minimize it.  For every shift when a nurse is rostered on (not OFF) we need to pay the shift cost for that nurse given by shift cost .  The total cost for the roster above is 484.  But we can do better.  Compute the total cost of the roster in variable total cost and minimize it .

Here is an optimal solution for Stages A – C. Note that the total cost is substantially reduced

B:  N   .  N  .  E  D  D  E     E  D  D  M  :  10

C:  E  N  .  E  N  N  .  E  N  .  E  D  D  .  :   10

D:  N  N  E   .  N  E   .  M  N  E  .  D  D  .  :   10

E:  .  D  D     E  D  D  D  .  M  .  M  D  :  9

F:  D  D  D   .  N  .  D  D  D  .  N  E     :  9

G:  .  E  D  D  N     N  E   .  .  M  N  .  :  8

H:  .  M  D  D  D  N     M   .  D  D   .   .  :  8

I:     M   .  D  D  D  N  .  N  .  M  E  .  :  8

J:  .  E  .  N     D  D  D  .  N  .  E  D  :  8

K:   .  E  E   .  N   .  E  E   .  N      M  N  :  8

L:   .  E  N  E  .  M  N  .  M  .  N     E  :  8

M:  .  M  .  M  M  .  N  .  D  D  D  N     :  8

N:  D  D  D  .  M  M  .  N  .  M     N  .  :  8

O:  .  E     D  D  D  N   .  .  N  N  N  .  :  8

P:  M  .  E  N  N     D  D   .  N  N   .  .  :  8

MORN:  1  3  1  1  2  2  1  1  2  1  1  2  2  1

DAY:    2  3  6  3  4  3  6  4  6  2  2  4  3  2

EVEN:  1  5  3  2  1  2  1  3  1  1  2  1  2  1

NIGH:  2  2  2  2  6  2  2  4  2  2  5  4  4  2

OFF:  10  3  4  8  3  7  6  4  5  10  6  5  5  10

total_cost  =  436;

Stage D - Ward Constraints

Each nurse that is rostered on has to be assigned to a WARD where their principal responsibilities lie.  We have minimum staffing requirements for each ward on each day.  Now you must decide the wd assignment of each nurse on each day to each ward.  First for consistency we require that any nurse that is rostered OFF should be assigned to the dummy ward and vice versa.  Note these constraints should always be turned on in stage F.

You model should satisfy the following ward constraints:

D1   For each ward w and each day d at least minward[w ,d] nurses should be assigned to that ward.

D2   There is one more restriction on ward assignments:  No nurse can be assigned to more than maxward different wards (including the dummy ward) over the roster period.

Again use global constraints where possible to encode the constraints.

A solution that satisfies these constraints is:

B:  N     N  E  D  D  N  .  .  D  D  M  M  :  10

C:  N  N   .  M  M  M  .  M  M  .   N  N   .   M   :   10

D:  D  D  D  .  N  N  .  E  D  D     N  E   :  10

E:  D  D  D  E     M  N  E  .  E  .  N  N  :  10

F:   .  E  E   .  N   .  D  D  D   .  N  E   .  N   :  9

G:  .  M  D  D  D  N     D  D  N  N   .  .  :  9

H:  .  N     N  E  N  .  N  .  D  D  M  .  :  8

I:     N  .  M  M  .  E  .  N  .  D  D  M  :  8

J:  M  E   .  N      D  D  D   .  .  D  D  .  :  8

K:  .  M  M  .  D  D  D  .  N  N     E  .  :  8

L:     N  E   .  D  D  .  D  D  N  .  N  .  :  8

M:  .  E  D  D  N     N   .  E   .  N   .  D   :  8

N:  .  M  D  D  D     N  .  .  M  M  N  .  :  8

O:   .  E  E   .  N   .  D  D  D  .  E  .  E  .  :  8

P:  E   .  E   .  N  E  E  E     N  N  .  .  :  8

MORN:  1  3  1  1  2  2  1  1  2  1  1  2  2  3

DAY:  2  2  6  4  4  3  6  3  6  3  2  4  3  2

EVEN:  1  5  3  2  1  2  1  3  1  1  2  1  2  1

NIGH:  2  2  2  2  6  2  2  4  2  2  5  4  4  2

OFF:  10  4  4  7  3  7  6  5  5  9  6  5  5  8

total_cost  =  440;

A:        .   EME  EME  EME  EME        .   EME        .   EME  EME        .   EME  EME  EME

B:  GEN        .        .   GEN   EME  EME  EME  GEN        .         .  GEN  EME  GEN  GEN

C:  EME  GEN        .   GEN  EME  EME        .   GEN   GEN        .   GEN  EME        .   EME

D:  EME  GEN  GEN        .   GEN  EME        .   GEN   GEN  GEN        .        .   GEN   EME

E:  GEN  GEN  GEN  GEN        .        .   GEN   EME  GEN        .   GEN        .   GEN   GEN

F:        .  GEN  CAN        .   GEN        .   GEN  GEN  GEN        .   GEN  GEN        .   CAN

G:        .   GEN  GEN  GEN  GEN  CAN        .         .  GEN  CAN  GEN  CAN        .        .

H:        .  GEN        .        .   EME   EME  EME        .   GEN        .   EME  EME  EME        .

I:        .        .  EME        .  EME  EME        .  EME        .  EME        .  EME  EME  EME

J:  CAN  GEN        .  GEN        .        .   GEN   GEN  GEN        .        .   GEN  GEN        .

K:        .  GEN  GEN        .   GEN  GEN  GEN        .   GEN  GEN        .         .  GEN        .

L:      .      .  CAN  HRT        .   CAN  CAN      .  CAN  HRT  HRT        .  HRT        .

M:        .  HRT   CAN  CAN  CAN        .        .  HRT        .  HRT        .   CAN        .  HRT

N:        .  EME  CAN  EME  CAN        .        .   EME        .         .  EME  EME  EME        .

O:        .  CAN  CAN        .   EME        .  EME   CAN  EME        .  CAN        .   CAN        .

P:  HRT        .  HRT        .  HRT  HRT  HRT  HRT        .        .  HRT  HRT        .        .

GEN:      2      8     4      5     4       1     4      5      8      2      5      2      5      2

EME:      2      2      2      2      6      5     4      3      2      2      2      6     4     4

HRT:       1      1      1      1      1      1      1      2       0      2      2      1      1      1

CAN:       1      1      5      1      2      2      1      1      1      1      1      2      1      1

.:    10      4     4      7      3      7      6      5      5      9      6      5      5      8

Here we can see the ward allocations for each nurse and each day.  Note how the dummy ward ’    . ’  lines up with days OFF exactly.  The minimum ward allocations for each ward and day are satisfied. No nurse is assigned to more than two wards over the period.