1.  Given the time-varying state matrix  is the corresponding linear system uniformly exponentially stable?  Please detail your rationale; a simple yes/no answer is not sufficient.

2.  Determine the values of the parameter α that guarantee that the following linear system is uniformly exponentially stable

3.  Suppose v(x(t), t) = xT (t)Qx(t) is a Lyapunov function where Q is constant that proves uniform stability of both ˙(x)(t) = A1 (t)x(t) and ˙(x)(t) = A2 (t)x(t). Show that ˙(x)(t) = (A1 (t) + A2 (t))x(t) is uniformly stable.

4.  Consider the time-varying state matrix  Show that

the quadratic Lyapunov function obtained from the matrix  does not

allow to conclude that the system is uniformly stable, which is instead possible by using the matrix Q = I.

5.  Consider the linear state space system

Answer TRUE or FALSE to the following statements and explain your reason- ing. No partial credit.

(a)  The system is controllable

(b)  The system is observable

(c) The system is (internally) stable

6.  Consider the linear state space system

Is the system controllable?   Determine  an  input  u(t) that drives the initial condition x(0) = [1, 0]T  to zero at t = 1.