Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

1 A sphere of radius a, centered at the origin, carries charge density

where k > 0 is a constant, andr , θ are the usual spherical coordinates.  Find the approximate potential for points on the z-axis, far from the sphere (dominant term of the multipole expansion).

2  In Example 5.2, Griffiths works out the general solution to motion of a particle in

“crossed E and B ields”(E points in the z-direction, B in the x-direction). Work carefully through his solution and make sure you follow it. Then, use it to answer the following:

2.1 uppose the particle starts at the origin at t = 0, with a given velocity

v(t = 0) = v0 y(ˆ). Use Griffiths’formal results (Eq 5.6) to ind the“special”

initial speed v0  whose subsequent motion is simple straight-line constant- speed motion.  Verify that this answer makes sense by using right-hand rule arguments and the Lorentz force law.

2.2 Now suppose your particle starts at the origin with ~ v(t = 0) = v'0ˆy, with starting speed v0(')  exactly HALF the velocity you found in part (a). Find and sketch the resulting trajectory of the particle.  Is the kinetic energy of the particle constant with time?  Briely comment.  If the kinetic energy is not constant, who is doing work?

3  Superposition for magnetic ields:

3.1  An ininitely long wire has been bent into a right-angle turn, as shown in Figure 1 below.  The “curvy part” where it bends is a perfect quarter circle of radius R.  Point P is exactly at the center of that quarter circle.

A steady current I lows through this wire.   Find B(~) at point P  (both

magnitude and direction).  No need to derive any formulas “from scratch” if you can get them from Gri伍ths’or lecture’s examples - just tell me  where you get them from.

3.2  How does your answer change if now the long wire is bent into the hair- pinlike shape, as shown in Figure 2 (magnitude and direction)?

4  In this question, you will get some practice writing down diferent current densities. Check units to make sure that your answers make sense.

Figure 1: Ininitely long wire bent into a right-angle turn with current I.

Figure 2: Hairpin wire with current I.

4.1 A solid cylindrical straight wire (with radius a) has a current I lowing down it.   If that current is uniformly distributed JUST over the outer surface of the wire  (i.e.,  none  is  lowing through the  “volume”  of  the wire (i.e., none is flowing through the “volume” of the wire; it’s all surface charge), what is the magnitude of the surface current density, K?

4.2 A DVD has been charged so that it has a ixed, constant, uniform surface electric charge density σ everywhere on its top surface.   It  is spinning with angular velocity ω about its center (which is the origin).  What is the magnitude of the surface current density K(~) at a distance r from the center?

4.3 A sphere (radius R, total charge Q uniformly distributed throughout the

volume) is spinning at angular velocity ω z(ˆ) about its center (which is at

the origin).  What is the volume current density J(r, θ, φ) at any point (r, θ, φ) in the sphere? Don’t forget to include the direction!

4.4 A very thin plastic ring (radius R) has a constant linear charge density and total charge Q. The ring spins at angular velocity ω about its center (which is at the origin). What is the current I in terms of the given quan-tities?  What is the volume current density J(y) in cylindrical coordinates? Note - since the ring is “very thin”, there will be some delta functions. I suggest writing down a formula for ρ(s; φ; z) irst. And remember that J(y) is a vector!

Disclaimer: As a non-native speaker, I sometimes use ChatGPT or Microsoft copilot to check my grammar or make some of my sentences clearer.