Due:  17:00 on  Tuesday,  16 April  2024

Please submit your solutions electronically (only in PDF format) in CANVAS. Please do not use red colour in your solutions and include your name and student number. Failure in the assess- ment may be compensated for by higher marks in other components of the module.  Marking of subquestions will be based on the marking descriptors of the University’s Code of Practice on Assessment. Standard UoL penalty applies for late submission in accordance with the Uni- versity’s Code of Practice on Assessment.

Please be aware of the University guidelines on plagiarism and collusion.

Total:  100 marks

1.  Consider an auction with three items a,b,c and three players.  The valuations for getting a single item is as follows v1 (a) = 7, v1 (b) = 11, v1 (c) = 5, v2 (a) = 10, v2 (b) = 5, v2 (c) = 12, v3 (a) = 13, v3 (b) = 12, v3 (c) = 4.  Assume that the valuation for getting a set S of more than a single item for each player i are given by

(a) vi(S) =：j∈S vi(j).

(b) vi(S) = maxj∈S{vi(j)} .

First, describe in detail the set of possible outcomes A, assuming that we care only about allocations that assign all the items. Then, for all the above cases

.  (5 marks) Describe the valuations of each player over A.

.  (15  marks) ”Run” the VCG mechanism (compute the allocation and the Clarke payments).

2.  (20  marks)  Consider a single item setting with n ≥  2 bidders.   Show that the social choice rule that always allocates the item to the smallest bidder cannot be truthfully implemented. Hint: Use Weak Monotonicity (Section. 9.5.2, Theorem 9.29 in [2]. ).

3.  Show the only if direction of Theorem 10.2.  That is, show that if the social choice is

f(⪰) = med{p1 , p2 ,..., pn, y1 ,..., yn−1} ,

then f is

(a)  (10 marks) strategy-proof,

(b)  (5 marks) onto,

(c)  (5 marks) anonymous.