Problem 1:  Investing (6 marks)

Suppose a friend of yours wants to invest $10,000 and has asked for your help.  They’re thinking of investing in an index fund tied to the ASX200 and a tech stock fund, but they’re concerned about the volatility of tech stocks. They therefore want to take measures to manage their investment risk.

They’ve decided that the amount invested in the tech fund cannot be higher than twice the amount invested in the index fund. The price per share of the index fund is $17, and the price per share of the tech fund is $20.  Over the last 5 years, the average annual return for the index fund has been 15%, and 25% for the tech fund.  They expect the performance of the funds in the coming year to be identical to the recent past. Your friend wants to develop an investment strategy that will maximise their return for the coming year.

(a)  Formulate a linear programming model to help determine how much money they should invest in each fund.

(b)  Solve the model using Python.

(c) If your friend can get $1 more to invest, how will that afect the solution?  $2 more?  $3 more? What can you say about the return on their investment strategy given these changes.

Problem 2:  Producing wine (7 marks)

A winery produces and sells three types of wine across Australia — No.1, No.2, and No.3.  A few months ago management discovered a large number of grapevines in the vineyard were infested with an insect pest that feeds on their roots and eventually kills them.  They had no choice but to take out all the grapevines and replant their crop.  It will take years for the new vines to mature and produce grapes so in the meantime they must purchase grape juice from other vineyards to make their wine.

There are three vineyards that are willing to sell their grape juice to the company - A, B, and C. They are located in diferent and faraway parts of the country.  As such, the company is looking at using more conveniently located winemaking and bottling facilities instead of its own.   It has identiied 4 facilities: W, X, Y, and Z.

In a particular month vineyard A can supply 1,500 tons of grape juice, vineyard B 1,600 tons, and vineyard C 1,000 tons. The processing capacity per month at facility W is 1,300 tons, 1,000 tons at X, 1,300 tons at Y, and 1,500 tons at Z. The $ cost per ton of transporting juice from the vineyards to the facilities is as follows:

The processing facilities have diferent equipment and have diferent wage rates.  The cost of pro- cessing each type of wine at each plant ($/ton) therefore difers, and is as follows:

This month the company needs to process a total of 1,400 tons of No.1, 800 tons of No.2, and 600 tons of No.3 at the four facilities combined.  There are two complicating factors though.  To produce 1 ton of No.2 requires 2 tons of grape juice, and 1 ton of No.3 requires 1.5 tons of grape juice.  1 ton of No.1 requires 1 ton of juice.

The company wants to know how many tons of grape juice to ship from each of the vineyards to each of the facilities, and the number of tons of each type of wine to produce at each facility to minimise total costs.